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Décomppsition en série de Fourier
démonstration requiert une justification différente de celle utilisée pour l'exercice 6.3; f n'étant plus nécessairement dérivable et à dérivée intégrable, il n'est
plus possible d'avoir recours à la formule d'intégration par parties.
PROPOSITION 6. 7 Soit f une application définie sur IR, 27r-périodique et
Riemann-intégrable sur [O, 27r]. Les suites ( an)n et (bn)n de ses coefficients
de Fo urier convergent vers O.
Démonstration Dans un premier temps, nous montrerons le résultat dans le
cas où f est une fonction en escalier <14> , puis nous établirons le résultat dans le
cas général d'une fonction Riemann-intégrable en ayant recours à la définition
de la Riemann-intégrabilité.
[?:'. Supposons que l'application f est en escalier sur [O, 27r] et considérons une
-subdivision <7
(xi)i = D, ... ,p de [0, 27r] adaptée <14l à f. Pour i E {1, ... , p},
désignons par Ài la valeur prise par f sur l'intervalle ]xi - 1 , xi [· Pour tout
n E N*, on a
7ran = fo
27r
f(x) cos(nx) dx = t 1��
1
f(x) cos(nx) dx
p
1.Xi
1
p
L Ài cos(nx) dx = � L Ài (sin(nxi) - sin(nxi_i)) .
i =l
Xi-l
i =l
Puisque 1 sin(nxi) - sin(nxi-i )I :::; / sin(nxi)I + 1 sin(nxi - 1 ) / :::; 2, on en déduit
que /7ranl :::; � I:f =1 /Àil puis par le théorème d'encadrement <1 5 l que
lim an = O. On procède de la même façon pour montrer que lim bn = O.
n -+oo
n -+oo
[?:'. Considérons à présent le cas d'une application f Riemann-intégrable sur
[O, 27r] et montrons que la suite (an)n de terme général an = � J0 2 " f (x) cos(nx) (16)
converge vers O. Pour cela, montrons que :
(8)
Soit c un réel strictement positif. Comme f est Riemann-intégrable sur [O, 27r],
il existe
(l
î) deux fonctions e: et '!/Je: en escalier sur [O, 27r] telles que '!/Je: :::; f :::; e:
et Jitr(e:(x) - 'l/Je:(x)) dx < m�/2, voir la figure 2. On a donc
{ 2 "
{ 27r
0 :::;
J o (e:(x) - f(x)) dx :::;
J o (e:(x) - 'l/Je:(x)) dx < 7rc/2.
<14> Voir la définition 18.2 p. 832 du Cours de première année.
(ls) Voir le théorème 5. 1 p. 179 du Cours de première année.
c ia) Voir la définition 5. 1 p. 168 du Cours de première année.
(l?) Voir la définition 18.4 p. 836 du Coul"S de première année.
(9)