Séries de Fourier
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COROLLAIRE 6.1 Soit f une application définie sur � ' 27r-périodique et intégrable sur [O, 27r].
- Si f est paire alors pour tout n E N on a bn = 0 et
1 1 7r
ao = - f(x) dx,
7r 0
2
1
7r
an= - J(x) cos(nx) dx.
7r 0
- Si f est impaire alors pour tout n E N on a an = 0 et
2
1
1'
bn = - f(x) sin(nx) dx.
7f 0
Démonstration Supposons que f est paire et appliquons la proposition 6.6
avec a:= -7r. En utilisant la relation de' Chasles, on obtient pour tout n E N :
1 1 7r
1 1
0
1 1 1'
bn = -
f(x) sin(nx) dx = -
f(x) sin(nx) dx + -
f(x) sin(nx) dx.
7f -'Ir
7f -'Ir
7r 0
L'application f étant paire, le changement de variable x r-+ -x indique que
f�n f(x) sin(nx) dx = - J 0
n f(x) sin(nx) dx, ce qui implique que bn =O.
On obtient aussi en utilisant le changement de variable x r-+ - x, compte tenu
de la parité de f, que pour tout n E N
[ 0
7r
f(x) cos(nx) dx = 1
n
J(x) cos(nx) dx.
Cela implique que pour n E N*,
et que
1 1 1'
an = :;;: - n
f(x) cos(nx) dx
1 1 °
1 1 7r
-
f(x) cos(nx) dx + -
f(x) cos(nx) dx
7r -'Ir
7f 0
2
1
1'
= - f(x) cos(nx) dx,
7f 0
ao = _!__
1 1r f(x) dx = _!__ 1 ° f(x) dx + 2 1 r f(x) dx = � r f(x) dx.
27r -?r
27r - n
7r l o
7r l o
Dans le cas où f est impaire, les relations données s'obtiennent de façon simiWre.
0
Exercice 6.3 Soit f une application 27r-périodique de classe ci sur R En
utilisant une intégration par parties, montrer que les suites (an)n et (bn)n
des coefficients de Fourier de f convergent vers O.
Le résultat suivant indique que la propriété établie à l'exercice 6.3 est valable
non seulement pour des fonctions qui sont de classe ci sur � mais plus généralement pour toute fonction Riemann-intégrable sur [O, 27r]. Bien entendu, la