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Décomposition en série de Fo urier
est appelée série de Fourier de f.
Tous les résultats liés aux propriétés des séries de Fourier pour les fonctions
2n-périodiques donnés dans ce chapitre s'étendent aux fonctions périodiques
de période T en exploitant le changement de variable indiqué.
6.2.2 Propriétés des coefficients de Fourier
La proposition suivante indique que l'on peut choisir n'importe quel intervalle de période pour calculer les coefficients de Fourier d'une application
2n-périodique.
PROPOSITION 6.6 Soit f une application définie sur IR., 27r-périodique et
Riemann-intégrable sur [O, 27r]. Pour tout réel a on a
ao
et
1 1 a + 2 7r
-
f(x) dx,
27r a
1 1
°'+ 2 71"
-
f(x) cos(nx) dx
7f a
1 1 a + 2 .,. .
-
f(x) sin(nx) dx
7r a
pour tout n E N* ,
pour tout n EN.
Démonstration Ce résultat découle des propriétés générales de l'intégrale des
fonctions périodiques <12> . Soit g une application définie sur JR, 2n-périodique et
intégrable sur [O, 27r]. En utilisant la relation de Chasles on a :
1 a + 2 7r
1 0
1 2 71"
1 a + 2 7r
g(t) dt =
g(t) dt +
g(t) dt +
g(t) dt.
a
a
0
2 71"
1 a + 2 7r
1 cf> (a)
Or,
g(t) dt =
g(t) dt où 4> : x E [O, a] i---t x + 2n. En utilisant la
271"
cf> (O)
formule du changement de variable <13> , on obtient :
1 a + 2 .,. .
1
°'
1
°'
1
°'
g(t) d t=
g( ef> (t)) r/> ' (t) dt =
g(t + 2n) dt =
g(t) dt,
2 71"
0
0
0
la dernière égalité résultant du fait que g est 27r-périodique. On en conclut que :
1 a + 2 7r
1 0
{ 2 71"
{°'
{ 2 71"
a
g(t) dt = a
g(t) dt + Jo g(t) dt + Jo g(t) dt =
J o g(t) dt.
Les relations proposées découlent de l'utilisation de ce résultat avec les fonctions
x i---t f(x) cos(nx) et x i---t f(x) sin(nx) pour n EN.
D
<12> Voir la proposition 18.15 p. 807 du Cours de première an née.
< 1 3> Voir le théorème 18.2 p. 803 du Cours de première année.