Séries de Fourier
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On vérifie aisément en utilisant les formules d'Euler que 1-ei t = -2iei� sin(�)
et que 1 - e - i t = 2ie - i� sin(�). On en déduit que :
n
L: cos(kt)
k =l
1
-- (sin((2n + 1)�) - sin(�))
2 sin(�)
sin((2n + 1)�) 1
2 sin(�)
2
La relation (6) se déduit de la dernière égalité. Remarquons que si t E 27rZ
alors � + l:� =l cos( kt) = � (2n + 1), ce qui nous amène à définir l'application :
{ sin((2n + 1H)
Kn : t E JR f-7 1
2 sin(�)
2 (2n + 1)
si t E lR \ 27rZ
(7)
sinon
Pour tout t E JR, on a la relation �+ l:� =l cos( kt) = Kn (t) et il est aisé d'établir
que Kn est continue sur lR en utilisant le fait que sin(x) "' x et que Kn est
0
27r-périodique.
!::: : La suite des sommes partielles (Sn)n associée à la série de Fourier de f
a pour terme général Sn : x E lR f-7 l:� =O a k cos(kx) + b k sin(kx) où pour
k E {O, . . ., n} les réels a k et b k sont donnés par les relations (3) à (5) p. 306.
Ces relations permettent d'écrire pour tout x E lR :
1 1 2 "
1
n 12"
- f(t) dt + - L f(t)(cos(kt) cos(kx) + sin(kt) sin(kx)) dt
. 27r 0
7r k =l 0
1 { 2 "
l n { 2 "
= -
l n
f(t) dt + - L l n
f(t) cos(k(t - x)) dt
27r 0
7r k =l 0
1 1 2 " ( 1
n
)
;:
f(t) 2 + L cos(k(t - x)) dt.
0
k =l
1 1 2 7r
On déduit alors de la relation (6) que : Sn (x) = -
f(t) Kn(t - x) dt. En
7r 0
effectuant le changement de variables s = t - x et en remarquant que la fonction
intégrée est 27r-périodique, il est indifférent d'intégrer sur l'intervalle de période
[-x, 27r - x] ou [-7r, 7r] , on obtient :
1 1"
Sn (x) = ;: -?r f(s + x) Kn (s) ds,