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Décomposition en série de Fourier
En utilisant le fait que la restriction de K n à [-n, n] est paire, on peut écrire :
=
1 1 °
1 171"
- f(s + x) Kn(s) ds + - f(s +x) Kn(s) ds
7r - 71"
7r 0
1 171"
1 171"
- f(-s + x) Kn(-s) ds + - f(s + x) Kn(s) ds
11'
0
7r 0
1 171"
- (f (x + s) + f(x - s)) Kn(s) ds.
7r 0
Le résultat est démontré ; d'après (7) on a en effet :
1 1 ., ,.
sin((2n + l)i)
Sn(x) = - 2
. e ) 2 (f(x +t) + f(x - t)) dt.
7r o sm 2
0
Exercice 6.2 En utilisant la formule de Dirichlet, montrer que pour tout
n EN on a
1 ., ,.
sin((2n + 1)�) _
.
(
t
)
dt - 7!" .
o sm 2
Calcul des coefficients de Fo urier avec MAPLE
MAPLE peut se révéler utile pour calculer les coefficients de Fourier d'une fonction. Dans certains cas, MAPLE parvient à déterminer l'expression générique des
coefficients a n et bn en fonction de n. Considérons par exemple le calcul des
coefficients de Fourier de la fonction x t-t 1 sin(x/2)1 effectué à l'exercice 6.1.
> f := x-> abs (sin(x/2) ):
> assume (n : :integer) ; additionally (n>O) ;
> a_n : = (1/Pi) *int (f (x) *cos (n*x) ,x=0 .. 2*Pi) ;
1
an := -4----­ n(- 1 + 4n 2 )
> b_n:= (1/Pi)*int(f (x) *sin(n*x) ,x=0 .. 2*Pi) ;
bn := Ü
On remarquera, en effectuant le calcul avec MAPLE des coefficients de Fourier
de différentes fonctions, que l'on obtient assez fréquemment une expression des
coefficients de Fourier à l'aide de fonctions « spéciales ».
Dans d'autres cas, MAPLE ne parvient pas à calculer explicitement les coefficients de Fourier de la fonction considérée. C'est le cas par exemple avec la
fonction x t-t exp (sin ( x)).
La procédure suivante permet d'obtenir une valeur numérique approchée des N
premiers coefficients de Fourier d'une fonction f donnée. Les coefficients de
Fourier ao, ... , aN et bo, ... , bN sont retournés dans les tableaux a et b