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Décomposition en série de Fourier
et pour k E Z \ N on a
_2_
f 2., ,
f (x) ( cos(-kx) + i sin( -kx)) dx
2n l o
=
1 1 2 7'
1 1 2 7'
.
-
f(x) (cos(kx) - isin(kx)) dx = -
f(x) e - i k x dx.
27r 0
27r 0
On remarquera que ces trois expressions des coefficients Ck pour k > 0, k = 0
et k < 0 prennent une même forme :
1 1 2 7'
.
C k = -
f(x) e - i k x dx.
27r 0
La série de Fourier associée à une application f définie sur JR, 2n-périodique et
Riemann-intégrable sur [O, 2n] s'écrit sous la forme complexe
L C k ei k x .
kE Z
Dans la manipulation des séries de Fourier données sous forme complexe, on
sera attentif au fait que la sommation est effectuée sur les entiers relatifs et non
pas sur les entiers naturels comme cela a été le cas jusqu'à présent. La série
de Fourier donnée sous forme complexe I: kE Z Ck ei k x converge si la suite (Sn)n
des sommes partielles de terme général Sn = 2:� = - n Ck ei k x converge.
LEMME 6.2 (Formule de Dirichlet)
Soit f une application définie sur JR, 2n-périodique et Riemann-intégrable sur
(0, 2n] . La suite des sommes partielles (Sn)n associée à la série de Fo urier
de f vérifie pour tous n E N et x E lR
1 1 ., , sin( (2n + 1) i)
Sn (x) = - 2
. e )
2 (f(x+ t) +f(x - t)) dt.
7r 0
Slll 2
Démonstration 12:: Commençons par établir le résultat préliminaire suivant :
pour tout t E lR \ 2nZ et n E N, on a
! � ( )
_ sin((2n + 1)�)
2
+ L.,, cos kt -
. ( t )
.
k=l
2 Slll 2
(6)
D'après les formules d'Euler <11> on a: cos( kt) = �(ei kt + e - i kt ); par conséquent,
en utilisant les propriétés des progressions géométriques, on obtient :
L
n
(k ) - ! L
n
i kt ! L
n
- i kt - ei t i - ei n t e - i t i - e - i n t
cos t - 2
e + 2
e
-
. t +
·t .
2 1 - e'
2 1 - e-1
k=l
k=l
k=l
(ll) Voir la proposition 4.6 p. 138 du Cours de première année.