Séries de Fourier
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Il existe une variante dans la façon de définir la série de Fourier d'une
fonction f 2w-périodique et Riemann-intégrable sur [ü, 2w] qui consiste à
poser pour tout n E N
et
1 1 2 11"
an = -
f(x) cos(nx) dx,
7r 0
+oo
1 1 2 11"
bn = -
f(x) sin(nx) dx,
7r 0
ao �
.
Sp (f)(x) = 2 + L..,. an cos(nx) + bn sm(nx).
n= l
Seule la valeur du coefficient a0 diffère entre ces deux approches ; l'expression
de la série de Fourier associée à la fonction f reste inchangée.
Écriture complexe d'une série de Fourier
En utilisant les formules d'Euler c9> , on peut représenter la série de Fourier
d'une fonction réelle de la variable réelle sous forme complexe. Considérons
une application f de lR dans IR, 2w-périodique et Riemann-intégrable sur [O, 2w]
dont la série de Fourier est la série trigonométrique L n fn de terme général
fn : x E lR 1-7 an cos(nx) +bn sin(nx). Les formules d'Euler permettent d'écrire
pour tout x E lR et tout n EN,
fn (x)
�an (e i n x + e - i n x ) + � bn (e i n x _ e - i n x )
= �(an - ibn) ei n x + �(an+ ibn) e - i n x .
La série de Fourier de f s'écrit donc sous la forme L kE Z Ck ei k x où on a posé
pour k E Z,
{ ck � (a k -ib k ) si k>O
c o
ao
ck
� (a - k + ib - k ) si k < 0
Pour tout n E N, les coefficients de Fourier réels an et bn de f sont donnés par
les relations (3), (4) et (5) p. 306. On déduit de ces relations, l'expression des
•
•
(10)
coefficients de Fourier complexes de f ; pour tout k E N*, on a
1 1 2 11"
1 1 2 11"
.
Ck = -
f(x) (cos(kx) - isin(kx)) dx = - 2
f(x) e - i k x dx;
27r 0
7r 0
pour k = 0, on a
1 1 2 .,,Co= -
f(x) dx
27r 0
<9> Voir la proposition 4.6 p. 138 du Cours de première année.
(JO) Dans cette expression, le sens à donner à l'intégrale entre 0 et 27r de la fonction réelle à
valeurs complexes x E JR ,__. f(x) e - ikx est celui indiqué p. 162.