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Décomposition en série de Fourier
FOURIER, Joseph (1768, Auxerre - 1830, Paris).
Joseph Fourier se montra durant la Révolution un révolutionnaire actif, animateur du comité local révolutionnaire
d'Auxerre.· En 1794, il fut de la première promotion de !'École
Normale Supérieure. Il fit partie en 1798 de l'expédition
napoléonienne en Égypte. Fourier y séjourna jusqu'en 1801 où
il mena des travaux scientifiques, historiques, administratifs et
diplomatiques. A son retour en France, il fut nommé préfet du
département de l'Isère. C'est à Grenoble que Fourier réalisa
l'essentiel de ses travaux scientifiques consacrés à l'étude de
l'évolution de la température d'un corps au cours du temps.
En 1808
/
il fut nommé baron par Napoléon et en 1817 il fut élu à lAcadémie des
Sciences
6> dont il devint le secrétaire perpétuel pour les sciences mathématiques.
Exercice 6.1 Calculer la série de Fourier de la fonction x t--t 1 sin(x/2)1.
1 Les exemples précédents permettent de faire les constatations suivantes. La
série de Fourier associée à une fonction f donnée n'est pas nécessairement
convergente sur l'ensemble de définition de f. Par ailleurs, même si cette
série converge, sa somme n'est pas nécessairement la fonction f.
Sans préjuger de la somme de la série de Fourier associée à une fonction f nous
écrirons :
+=
SF (f)(x) = 2::> n cos(nx) + bn sin(nx).
n=O
Les conditions de convergence d'une série de Fourier selon la régularité de
l'application f seront étudiées à la section 6.2.3.
Remarques
1. On peut étendre la définition des coefficients de Fourier donnée par les relations de la définition 6.2 au cas où f est localement Riemann-intégrable
<7> sur
[O, 27r] et admet une intégrale généralisée absolument convergente sur [O, 27r] .
Dans ce cas, pour tout entier naturel n, les intégrales Jgtr f(x) cos(nx) dx et
J;tr f(x) sin(nx) dx sont des intégrales généralisées absolument convergentes.
2. Il résulte des propriétés de l'intégrale de Riemann
que les coefficients de
Fourier d'une fonction f ne sont pas modifiés si on modifie les valeurs de la
fonction f un nombre fini de points.
o
<7> Voir la définition 19. 1 p. 917 du Cours de première année.
(S) Voir le Cours de première année p. 845.
Décomposition en série de Fourier
FOURIER, Joseph (1768, Auxerre - 1830, Paris).
Joseph Fourier se montra durant la Révolution un révolutionnaire actif, animateur du comité local révolutionnaire
d'Auxerre.· En 1794, il fut de la première promotion de !'École
Normale Supérieure. Il fit partie en 1798 de l'expédition
napoléonienne en Égypte. Fourier y séjourna jusqu'en 1801 où
il mena des travaux scientifiques, historiques, administratifs et
diplomatiques. A son retour en France, il fut nommé préfet du
département de l'Isère. C'est à Grenoble que Fourier réalisa
l'essentiel de ses travaux scientifiques consacrés à l'étude de
l'évolution de la température d'un corps au cours du temps.
En 1808
/
il fut nommé baron par Napoléon et en 1817 il fut élu à lAcadémie des
Sciences
6> dont il devint le secrétaire perpétuel pour les sciences mathématiques.
Exercice 6.1 Calculer la série de Fourier de la fonction x t--t 1 sin(x/2)1.
1 Les exemples précédents permettent de faire les constatations suivantes. La
série de Fourier associée à une fonction f donnée n'est pas nécessairement
convergente sur l'ensemble de définition de f. Par ailleurs, même si cette
série converge, sa somme n'est pas nécessairement la fonction f.
Sans préjuger de la somme de la série de Fourier associée à une fonction f nous
écrirons :
+=
SF (f)(x) = 2::> n cos(nx) + bn sin(nx).
n=O
Les conditions de convergence d'une série de Fourier selon la régularité de
l'application f seront étudiées à la section 6.2.3.
Remarques
1. On peut étendre la définition des coefficients de Fourier donnée par les relations de la définition 6.2 au cas où f est localement Riemann-intégrable
<7> sur
[O, 27r] et admet une intégrale généralisée absolument convergente sur [O, 27r] .
Dans ce cas, pour tout entier naturel n, les intégrales Jgtr f(x) cos(nx) dx et
J;tr f(x) sin(nx) dx sont des intégrales généralisées absolument convergentes.
2. Il résulte des propriétés de l'intégrale de Riemann
Fourier d'une fonction f ne sont pas modifiés si on modifie les valeurs de la
fonction f un nombre fini de points.
o
<7> Voir la définition 19. 1 p. 917 du Cours de première année.
(S) Voir le Cours de première année p. 845.