Séries de Fourier
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ob tenue par la linéarisation < 5> . On remarque que f est égale sur � à sa série de
Fourie r.
-1 0
-5
5
10
Fig. 1 Représentation graphique des fonctions 2n-périodiques
X 1-> cosax) 4 (à gauche) et XE (0, 2n(1-> 7f - X (à droite) .
2. Considérons l'application 2n-périodique f qui en restriction à l'intervalle
(0, 2n[ est x 1--t 7r - x. On a ao = 0 et en effectuant le changement de variable
y = n - x, on obtient pour tout n E N* :
1 1 2 7T
-
(n - x) cos(nx) dx
7f 0
1 J 7T
-ycos(ny -nn) dy
7l'
-?T
-(- l) n +l
ycos(ny) dy.
1
J 7T
7l'
- 7T
Comme la fonction x 1--t x cos( nx) est impaire, on a an = O. Pour tout n E N*,
on obtient en intégrant par parties :
1 1 2 7T
-
(n - x) sin(nx) dx
7l'
0
1 [ cos( nx) ] 2 7T 1 1 2 7T
- - (7r - x)
- -
cos(nx) dx
n
n
o n7r o
2
n
La série de Fourier de f est donc L n ;;,
1 � sin( nx). La règle d'Abel pour les séries
trigonométriques (voir la proposition 6.2) permet de conclure à la convergence
simple de la série de Fourier de f sur � \ 2nZ. Il y a en fait convergence
simple sur � car si x E 27rZ, la série de Fourier de f est la série nulle. Comme
f(x) = 7r pour x E 2nZ, on pourra noter qu'en x E 2nZ la série de Fourier de f
ne converge pas vers f(x).
< 5> Cela est lié au fait que la série de Fourier d'une application 27r-périodique et intégrable
est unique.
( 6) Voir : www . academie-sciences . fr /MEMBRES/in_memoriam/Fourier/Fourier _oeuvre . htm