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Décomposition en série de Fourier
d'une série trigonométrique (voir la proposition 6.3). Par ailleurs, les coefficients d'une série trigonométrique qui converge uniformément sur lR sont liés à
la somme de cette série par les relations (1) et (2) p. 305. Ces considérations
motivent la définition suivante.
DÉFINITION 6.2 (Sêrie de Fo urier)
Soit f une application définie sur IR, 2-rr -périodique et Riemann-intégrable
sur [O, 2-rr ].
X On appelle coefficients de Fourier de f les réels <3J
ao =
an
et
bn
1 1 2 7r
271"
0
f(x) dx,
1 1 2 7r
-
f(x) cos(nx) dx
7f 0
1 1 2 7r
-
f(x) sin(nx) dx
7f 0
(3)
pour tout n E N*
(4)
pour tout n EN.
(5)
X On appelle série de Fourier de f la série trigonométrique de terme général
x E lR 1-+ an cos(nx) + bn sin(nx).
Exemples
l. Considérons l'application f: x E lR 1-+ cos4 ( �x). Cette application est continue sur lR et 2-rr -périodique. Pour calculer ses coefficients de Fourier, on peut linéariser <4J cos4 ( �x). Pour tout réel e, on a cos4(8) = k (cos(48) + 4 cos(28) + 3) ;
donc pour tout réel x, on a f(x) = k (cos(2x) + 4 cos(x) + 3). On en déduit que :
1 ( 1 f 2 7r
2 f
2 7r
)
3
ao = 8 3 + 2 7f J o
cos(2x) dx + :; J o
cos(x) dx = 8 .
De plus, pour tout n E N* on a :
1 3 f
2 7r
1 f
2 7r
an = 8 (; J o
cos(nx) dx + :; J o
cos(2x) cos(nx) dx
4 { 2 7r
+ :; J o
cos(x) cos(nx) dx) .
On déduit du lemme 6.1 que an est nul si n � 3 et que a i = �, a 2 = k · De
même, le lemme 6.1 indique que bn est nul quel que soit n EN. Finalement, la
série de Fourier de f est i + � cos ( x) + l cos ( 2 x), expression que nous avions
<3 l On notera que bo est toujours nul.
<4 l Voir la section 4.5 .3 p. 158 du Cours de première année pour une présentation de la
méthode générale et pour le détail de la linéarisation de cos 4 (9) .