Séries de Fourier
305
et
f 2 71"
l o
sin(nx) sin(px) dx
1 1 2 71"
1 1 2 71"
-
cos((n - p)x) dx - -
cos((n + p)x) dx
2 a
2 a
=
n
si n f:.p
si n = p avec n f:. 0
si n= p = 0
Ainsi, pour tout p E N on a :
f 2 71" (x) cos(px) dx = { 27fa a
l a
1fap
et
1 2 71" (x) sin(px) dx = 7rbp -
si p = 0
si p f:. 0
On en déduit que lorsqu'une série trigonométrique E n an cos(nx) + bn sin(nx)
converge uniformément sur [O, 2 7f ], les coefficients de la série et la somme de
cette série sont liés par les relations :
a a
1 { 2 71"
2 7f l a
(x) dx,
� f 2 71" (x) cos(px) dx
7f l a
pour tout p EN*
et
1 1 2 71"
-
(x) sin(px) dx
7f a
On pourra retenir les formules suivantes.
pour tout p E N.
LEMME 6.1 Quels que soient les entiers naturels n et p on a
1 2 71" cos(nx)
0 cos(px) dx
{
0 si n f:.p
7f si n = p avec n f:. 0
0 si n= p = 0
1 2 71"
{
0 si n f:. p
a
sin(nx) sin(px) dx =
7f si n = p avec n f:. 0
0 si n=p=O
1 2 71"
a
sin(nx) cos(px) dx
0
6.2 Décomposition en série de Fourier
6.2.1 Coefficients de Fourier
( 1 ).
(2)
La décomposition d'une fonction f en série de Fourier consiste à trouver une
série trigonométrique dont f est la somme. Il résulte des propriétés des séries trigonométriques que seule une fonction 27r-périodique peut être la somme