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Séries trigonométriques
Pour tout p EN, la série de terme général Yn : x E lR r-. fn (x) cos(px) converge
uniformément sur lR et a pour somme l'application 'l/; : x E lR r-. En effet pour tout n EN, on a
n
sup, 'l/;(x) - :�::: :> k (x) j
xEIR
k= O
n
= sup j cos(px) ( xEI0,2.,,. 1 �
k= O
�l n
:::; ; sup j xEI0,21rj
k= O
donc la convergence uniforme sur [O, 2n] de la série l: n fn implique la convergence uniforme sur [O, 2n] de la série l: n Yn· Par un argument analogue, on
montre que pour tout p E N, la série de terme général x E lR r-. fn (x) sin(px)
converge uniformément sur lR et a pour somme x E lR r-. Le théorème 3.8 p. 136 indique que l'on peut échanger l'ordre dans lequel sont
effectuées la sommation et l'intégration : pour tout p E N, on a
et
r21r
+oo {2 ...
Jo +oo
( r21r
{2...
)
= � an Jo cos(nx) cos(px) dx + bn J o sin(nx) cos(px) dx
{2.,,.
+oo {2.,,.
Jo 0
n=O 0
= ; ( an 1
2.,,.
cos(nx) sin(px) dx + bn 1
2.,,.
sin(nx) sin(px) dx
)
.
De la relation < 2> cos( nx) cos(px) = � (cos( ( n - p )x) + cos( ( n + p )x)), on déduit
que :
{2 ...
J o cos(nx) cos(px) dx =
On a aussi
{2 ...
Jo sin(nx) cos(px) dx
i r2...
i r2 ...
2 J o cos((n - p)x) dx + 2 J o cos((n + p)x) dx
{;,
si n =f. p
si n = p avec n =f. 0
si n=p=O
i r27r
i r27r
2
J
o sin((n - p)x) dx + 2 J o sin((n + p)x) dx
0
< 2> Voir le Cours de premiére année p. 155.