Séries de Fourier
303
Ces relations sont encore valables si n = O. On en déduit que les deux séries
L: n an cos(nxo) + bn sin(nxo) et L n an cos(n(xo + 27r)) +bn sin(n(xo + 27r)) sont
éga les. Elles ont donc même somme.
0
Une conséquence de la proposition 6.3 est qu'en pratique on peut se contenter
d'étudier une série trigonométrique sur un intervalle de période, par exemple
sur (0, 21f].
PROPOSITION 6.4 Si une série trigonométrique converge uniformément sur
un intervalle ouvert I alors sa somme est une application continue sur I.
Démonstration L'application f n : x E � r-+ an cos( nx) + bn sin( nx) est continue quel que soit n E N. S'il y a convergence uniforme de la série L n f n sur un
intervalle I de �. la somme de cette série est, d'après le théorème 3. 7 p. 135,
continue sur I.
0
PROP OSITION 6.5 Soit L n fn une série trigonométrique qui converge sur
un intervalle ouvert I de � et soit L n f � converge uniformément sur I alors somme de la série L n f �
Démonstration Soit L n f n une sene trigonométrique de terme général
fn : x E � r-+ an cos(nx) + bn sin(nx). Pour tout n E N, l'application fn
est dérivable sur � et la série L n f� est une série trigonométrique. Si L n f n
converge simplement sur un intervalle I et que la série L n f� converge uniformément sur I alors il résulte du théorème 3.9 p. 139 que l'application , somme
de la série L n !n i est dérivable sur I et que
0
Dans l'énoncé des propositions 6.4 et 6.5, l'hypothèse de convergence uniforme de la série est une condition suffisante pour que la propriété indiquée
soit vraie. Cette condition n'est toutefois pas nécessaire mais dans les cas où
la convergence uniforme n'a pas lieu une étude spécifique doit être menée
pour établir si la propriété est vraie ou pas.
Liens entre sonune d'une série trigonométrique et coefficients de la série
Soit L n fn une série trigonométrique de terme général fn : x r-+ an cos(nx) +
bn sin(nx), convergeant uniformément sur l'intervalle [O, 21f]. D'après les propositions 6.3 et 6.4, la somme continue sur � et 27r-périodique. Nous allons montrer que les coefficients an
et bn de la série trigonométrique L n fn sont liés à de la série par des relations très simples.
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Ces relations sont encore valables si n = O. On en déduit que les deux séries
L: n an cos(nxo) + bn sin(nxo) et L n an cos(n(xo + 27r)) +bn sin(n(xo + 27r)) sont
éga les. Elles ont donc même somme.
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Une conséquence de la proposition 6.3 est qu'en pratique on peut se contenter
d'étudier une série trigonométrique sur un intervalle de période, par exemple
sur (0, 21f].
PROPOSITION 6.4 Si une série trigonométrique converge uniformément sur
un intervalle ouvert I alors sa somme est une application continue sur I.
Démonstration L'application f n : x E � r-+ an cos( nx) + bn sin( nx) est continue quel que soit n E N. S'il y a convergence uniforme de la série L n f n sur un
intervalle I de �. la somme de cette série est, d'après le théorème 3. 7 p. 135,
continue sur I.
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PROP OSITION 6.5 Soit L n fn une série trigonométrique qui converge sur
un intervalle ouvert I de � et soit L n f � converge uniformément sur I alors somme de la série L n f �
Démonstration Soit L n f n une sene trigonométrique de terme général
fn : x E � r-+ an cos(nx) + bn sin(nx). Pour tout n E N, l'application fn
est dérivable sur � et la série L n f� est une série trigonométrique. Si L n f n
converge simplement sur un intervalle I et que la série L n f� converge uniformément sur I alors il résulte du théorème 3.9 p. 139 que l'application , somme
de la série L n !n i est dérivable sur I et que
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Dans l'énoncé des propositions 6.4 et 6.5, l'hypothèse de convergence uniforme de la série est une condition suffisante pour que la propriété indiquée
soit vraie. Cette condition n'est toutefois pas nécessaire mais dans les cas où
la convergence uniforme n'a pas lieu une étude spécifique doit être menée
pour établir si la propriété est vraie ou pas.
Liens entre sonune d'une série trigonométrique et coefficients de la série
Soit L n fn une série trigonométrique de terme général fn : x r-+ an cos(nx) +
bn sin(nx), convergeant uniformément sur l'intervalle [O, 21f]. D'après les propositions 6.3 et 6.4, la somme continue sur � et 27r-périodique. Nous allons montrer que les coefficients an
et bn de la série trigonométrique L n fn sont liés à de la série par des relations très simples.