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Séries trigonométriques
Démonstration Les fonctions sinus et cosinus étant majorées par 1 et minorées par -1, pour tout n E N et tout x E lR on a
On en déduit que sup x E IR lan cos(nx) + bn sin(nx) I � lan l + lbn l· Si les séries
numériques L n an et L n bn convergent absolument alors la série de terme général L n lan l + lbn l converge. D'après les critères de convergence pour les séries
à termes positifs <1> , la série de terme général sup x E IR lan cos(nx) + bn sin(nx)I
converge. Par définition, cela signifie que la série L n an cos(nx) + bn sin(nx)
converge normalement sur R
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PROPOSITION 6.2 (Règle d'Abel pour les séries trigonométriques)
Soient (an)n et (bn)n deux suites de nombres réels positifs,
convergeant vers O. La serie trigonométrique de
fn : x � an cos(nx) + bn sin(nx),
- converge simplement sur lR \ 2nZ ;
décroissantes et
terme général
- converge uniformément sur tout intervalle [2kn+ o:, 2(k+l)n-o:J où k E Z
et a: E]O, n[.
Démonstration Ce résultat se démontre en appliquant le théorème d'Abel
pour les séries numériques (théorème 1.4 p. 46) et le théorème d'Abel uniforme
pour les séries de fonctions (théorème 3.6 p. 133) à la série trigonométrique
L n an cos(nx) + bn sin(nx). Le détail de la justification se situe à la p. 48 pour
la première partie du théorème et à la p. 133 pour la seconde.
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6.1.2 Propriétés de la somme d'une série trigonométrique
On dit qu'une application définie sur un sous-ensemble D de lR est 2n-périodique
si :
\:/x ED (x+2nED et f(x + 2n) = f(x)) .
La période d'une telle application peut être inférieure à 2n ; c'est le cas par
exemple de l'application x E lR � cos(2x) qui est 2n-périodique et qui admet
pour période fondamentale n.
PROPOSITION 6.3 La somme d'une série trigonométrique est une application 2n-périodique.
Démonstration Soit L: n an cos(nx) + bn sin(nx) une série trigonométrique
qui converge en xo E R Pour tout n E N*, on a
cos(n(xo + 2n)) = cos(nxo + 2nn) = cos(nxo)
et
sin(n(xo + 2n)) = sin(nx0 + 2nn) = sin(nxo).
( l ) Voir le théorème 1.2 p. 14.