CHAPITRE 6
Séries de Fo urier
En analyse, les séries de Fourier sont un outil essentiel pour l'étude des fonctions périodiques. Elles sont également largement utilisées dans de nombreux
domaines pour l'étude de signaux périodiques et interviennent par exemple en
filtrage numérique, en synthèse sonore ou en traitement d'images. On fait habituellement remonter l'origine des séries de Fourier à l'ouvrage de Joseph Fourier
Th éorie analytique de la chaleur paru en 1822 où est exposée l'utilisation formelle de sommes trigonométriques infinies pour la résolution de l'équation de la
chaleur. À cette époque toutefois, les notions d'intégration ou de continuité ainsi
que les problèmes de convergence des séries de Fourier ne sont pas clairement
maîtrisés et les séries de Fourier vont se trouver au cœur du développement de
l'analyse au 19e siècle.
6.1 Séries trigonométriques
6.1.1 Convergence d'une série trigonométrique
DÉFINITION 6.1 On appelle série trigonométrique réelle toute série d'applications de terme général
fn : XE lR t--t an cos(nx) + bn sin(nx)
où (an)n et (bn)n désignent deux suites numériques réelles.
Une application de la forme x E lR � L� =D a k cos(kx) + b k sin(kx) , où
(a k ) k E{ O , ... ,n} et (b k ) k E{ O , ... ,n} désignent des réels, porte le nom de polynôme
trigonométrique. Les sommes partielles associées à une série trigonométrique
sont donc des polynômes trigonométriques.
PROPOSITION 6.1 Si les séries numériques L n an et L n bn convergent
absolument alors la série trigonométrique dont le terme général est
ln : x � an cos(nx) + bn sin(nx) converge normalement (et par conséquent
simplement, absolument et uniformément) sur lR.