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Solutions des exercices
OÙ Qz = L�=� c;x k est un polynôme de JR[X] de degré p -1. On a donc d'après
l'hypothèse de récurrence Â1 v 1Q2(m) = 0 et on en conclut que ÂI P +i J Q(m) =O.
On a donc établi que pour tout polynôme P de on a  l vl P(n) = 0 pour tout n EN.
e)
Pour p E N* fixé, en appliquant la formule d'Euler-Abel à l'ordre p à
la série entière Ln P( n)z n où P est un polynôme de obtient pour tout z E D(O, 1)
+oo
p- 1
k
+oo
�
n � (k]
Z
z P � {p]
n
�
P( n) z =
t:o  P( O) ( l - z) k+l + ( l -z)P �  P( n) z .
D'après la question précédente, comme P est un polynôme de p-l on a ÂI PI P(n) = 0 pour tout n EN. On en déduit que pour tout z E D(O, 1)
on a
+oo
p-1
k
�
n � (k]
Z
�
P( n) z =
f::o  P( O) (l - z) k+l "
( 18)
f) Pour implémenter sous MAPLE un algorithme mettant en œuvre la formule d'Euler-Abel pour calculer la somme d'une série entière de la forme
Ln P( n) z n où P désigne un polynôme de temps d'expliciter la relation permettant de calculer  l k l P(O). On montre par
récurrence que pour tout k EN,
k
k
 l k J P( O) = L( -l) i Ck  1 0 1 P( k - i) = L(-l) i Ck P( k - i) .
i =O
i =O
La programmation avec MAPLE de la formule d'Euler-Abel pour calculer la
somme de la série Ln P(n) z n est alors la suivante.
> P:=z-> z-6+1 : p:=degree (P (z) ,z)+1 :
> Delta: =k-> add((-1)-i*b inomial (k,i)*P(k-i) ,i=O .. k) :
> f:=z->simplify (add (Delta(k) *z-k/ (1-z) -(k+1 ),k=O .. p-1)) : f(z) ;
1 + 2 z6 - 5 z + 72 z2 + 282 z3 + 317 z4 + 51 z5
(- l +z)7
Bien entendu cette formule d'Euler-Abel est connue des concepteurs de MAPLE
et on obtient le même résultat directement avec la commande sum :
> sum (P (n) *z-n ,n=O .. inf inity) ;
1 + 2 z6 - 5 z + 72 z2 + 282 z3 + 317 z4 + 51 z5
(-l+z)7
On sera attentif au fait que la relation ( 18) n'a de sens que pour z E D(O, 1)
même si l'expression Et :� Â1k1 P(O) (l-:;k +i est définie pour tout z-:/= 1.