Séries entières
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c) Soit P = II:� o: k X k un polynôme de C[X] de degré p-1 ( p E W). Pour
dét erminer le rayon de convergence R de la série entière complexe L n P( n) z n ,
util isons le critère de D'Alembert. Comme P est un polynôme de C[X] de degré
p-1, il admet exactement p-1 racines complexes comptées avec multiplicité et
au plus p - 1 racines réelles < 44 J. Pour tout entier n supérieur à la valeur absolue
de la racine réelle de P ayant la plus grande valeur absolue, on a P(n) =/; 0 et
Or,
donc limn->+oo 1 P�C�) l ) 1 = 1. On en conclut que le rayon de convergence R de
la série entière complexe L n P(n) z n vaut 1.
d) Montrons en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout
polynôme P = L�=� cx k X k de C[X] de degré p- 1 ( p E N*) on a b.. 1 v 1 P(n) = 0
pour tout n EN.
Pour p = 1 la relation est vraie : on a P = o:o donc pour tout z E C, on a
1 1 1
b.. P(n) = P(n + 1) - P(n) = o: 0 - ao =O. Supposons, c'est notre hypothèse
de récurrence, que pour tout polynôme P de C[X] de degré p - 1 fixé ( p E N*)
on a b.. 1 v 1 P(n) = 0 pour tout n E N et montrons que pour tout polynôme
Q = L� =O o: k X k de C[X] de degré p on a b.. l v+ •I Q(n) = 0 pour tout n EN. On
a Q = Q1 + apXP où Q1 est le polynôme de C[X] de degré p - 1 donné par
Q1 = L�=� o: k X k . On en déduit que pour tout m EN, on a
Comme Q1 est de degré p- 1, d'après l'hypothèse de récurrence b.. 1 " 1 Q1(m) = 0
et b.. 1 " 1 Q1(m + 1) =O. On en déduit que
b.. 1 "+ 1 1 Q(m) = o:pb.. 1 '' 1 (m + l)P - o:pb.. 1 v 1 mP = a:pb.. 1 v 1 ((m + l)P - mP).
Or, la formule du binôme de Newton donne
(44)
p
p - 1
(m + l)P - mP = Lc;m k - mP = Lc;m k = Q 2 (m)
k=O
k=O
Voir le Cours de première année p. 248.