298
Par ailleurs,
Solutions des exercices
[ 1)
[ 1)
6. an +l - 6. a n
o: (n + 1)°'- 1 + �o:(o: - 1) (n + 1)°'- 2 - o:n°'- 1
-�o:(o: - 1) n°'- 2 + O + oc (n°'- 2 )
car (n + l)°'- 2 rv n°'- 2 .
+ oc
Or, d'après la question 3-a (n + 1)°'- 1 = n°'- 1 + (o: - 1) n°'- 2 + O + oc (n°'- 2 ) et
(n + 1)°'- 2 = n°'- 2 + O + oc (n°'- 2 ). On en déduit finalement que
A (2 )
u a n
o:n°' -1 + o:( o: - 1) n°' - 2 + �o:( o: - 1) na:- 2
-o:n°'- 1 - o:(o: - 1) n°'- 2 + O + oc (n°'- 2 )
o:(o:-l)n°'- 2 +o + oc (n°'- 2 ) rv 0:(0: -l)n°'- 2 .
+ oc
c ) On a vu que le calcul d'une approximation de la somme de la série
L n n11: z n pour z = -0.999 à partir des sommes partielles requérait le calcul
d'un très grand nombre de termes car n11:(-0.999) n est une quantité qui tend
très lentement vers O. En utilisant la formule d'Euler-Abel, on améliore nettement la vitesse de convergence et le calcul d'une approximation de la somme
de la série requiert beaucoup moins de termes à calculer. En effet, alors que
[1 )
· -1
[ 2 )
- 2
a n rv n°' on a 6. an rv o:n<> et 6. a n rv o:(o: - l) n°' .
+ oc
+ oc
+ oc
4 - a) Pour calculer le rayon de convergence de la série entière L n n z n , on
peut utiliser le critère de D'Alembert. On a lim n -. + oc l.u;11 = 1 ce qui indique
que le rayon de convergence de la série L n n z n est 1.
Une série entière étant holomorphe sur son disque de convergence et la série
entière L n z n ayant pour rayon de convergence 1, on déduit du théorème 5.4
p. 249 que pour tout z E D(O, 1) on a
z
+ oc
l
+ oc
( l ) /
Comme L z n = 1
_
z , on en déduit que L nz n = z 1
_
z
n=O
n=O
(1 -z) 2 "
b) Le rayon de convergence de la série entière L n n 2 z n est 1. Utilisons la
formule d'Euler-Abel à l'ordre 1 pour calculer la somme f de cette série. Pour
tout n EN, on a 6.
"1
a n = (n + 1) 2 - n 2 = 2n + 1. On en déduit que pour tout
z E D(O, 1),
+ oc
+ oc
+ oc
(
)
L
[ li
n L n L n
2z
1
z z + 1
f(z) = 6. a n z = 2 nz + z = (
) 2 + -- = (
) 3 ·
n=O
n=O
n=O
1-z
l - z l -z
Par ailleurs,
Solutions des exercices
[ 1)
[ 1)
6. an +l - 6. a n
o: (n + 1)°'- 1 + �o:(o: - 1) (n + 1)°'- 2 - o:n°'- 1
-�o:(o: - 1) n°'- 2 + O + oc (n°'- 2 )
car (n + l)°'- 2 rv n°'- 2 .
+ oc
Or, d'après la question 3-a (n + 1)°'- 1 = n°'- 1 + (o: - 1) n°'- 2 + O + oc (n°'- 2 ) et
(n + 1)°'- 2 = n°'- 2 + O + oc (n°'- 2 ). On en déduit finalement que
A (2 )
u a n
o:n°' -1 + o:( o: - 1) n°' - 2 + �o:( o: - 1) na:- 2
-o:n°'- 1 - o:(o: - 1) n°'- 2 + O + oc (n°'- 2 )
o:(o:-l)n°'- 2 +o + oc (n°'- 2 ) rv 0:(0: -l)n°'- 2 .
+ oc
c ) On a vu que le calcul d'une approximation de la somme de la série
L n n11: z n pour z = -0.999 à partir des sommes partielles requérait le calcul
d'un très grand nombre de termes car n11:(-0.999) n est une quantité qui tend
très lentement vers O. En utilisant la formule d'Euler-Abel, on améliore nettement la vitesse de convergence et le calcul d'une approximation de la somme
de la série requiert beaucoup moins de termes à calculer. En effet, alors que
[1 )
· -1
[ 2 )
- 2
a n rv n°' on a 6. an rv o:n<> et 6. a n rv o:(o: - l) n°' .
+ oc
+ oc
+ oc
4 - a) Pour calculer le rayon de convergence de la série entière L n n z n , on
peut utiliser le critère de D'Alembert. On a lim n -. + oc l.u;11 = 1 ce qui indique
que le rayon de convergence de la série L n n z n est 1.
Une série entière étant holomorphe sur son disque de convergence et la série
entière L n z n ayant pour rayon de convergence 1, on déduit du théorème 5.4
p. 249 que pour tout z E D(O, 1) on a
z
+ oc
l
+ oc
( l ) /
Comme L z n = 1
_
z , on en déduit que L nz n = z 1
_
z
n=O
n=O
(1 -z) 2 "
b) Le rayon de convergence de la série entière L n n 2 z n est 1. Utilisons la
formule d'Euler-Abel à l'ordre 1 pour calculer la somme f de cette série. Pour
tout n EN, on a 6.
"1
a n = (n + 1) 2 - n 2 = 2n + 1. On en déduit que pour tout
z E D(O, 1),
+ oc
+ oc
+ oc
(
)
L
[ li
n L n L n
2z
1
z z + 1
f(z) = 6. a n z = 2 nz + z = (
) 2 + -- = (
) 3 ·
n=O
n=O
n=O
1-z
l - z l -z