Séries entières
(p+l)
(p)
(p(
Comm e f:i an = f:i an +l - !:i an on a pour tout z E D(O, 1),
De plus, on a :
+oo
"A (p)
n
� u an+ l z
+oo
1 " A (p)
n+l
� u an+l z
+oo
1 " A [p) n
� u an z .
n=O
Z n=O
On en déduit que :
(p)
+oo
+oo
f:i ao +
'°' A !Pl
n '°' A !Pl
n
-- � u an+l z - � u an z
Z
n=O
n=O
(p)
( )
ti
z
ao + ti lv J ao + � - 1
+oo
"A (p)
n
� u an z
n=l
Z n=l
z P +l
Or, (1 - z)P +l
(1 ) z P
- - 1 = ( )
donc (16) combiné avec (17) donne :
Z
1-z P
p
(k)
. z k
z P +l +oo
lv + 1)
�
!:i ao (1 - z) k+l + (1 - z)P +l ]; !:i an Z n
p - 1
k
+oo
·
'°' (k J
z
z P '°' lvl n
= � f:i ao ( i '- z) k+l + (l
_ z)P
� !:i an z =
k=O
n=O
On en conclut que la relation (Ep) est vraie pour tout p E N*.
f (z).
297
(16)
(17)
3 - a) On a (n+l)a: = na: (1 +1/nt et (l+u)<> = l+au + �a(a-l)u 2 +o0(u 2 ).
On en déduit que :
(n +l)a: = n<> (1+; + a(a -1) 2 � 2 + 0+00 ( n - 2 ))
na: + a na: - l + �a(a - 1) na: - 2 + 0+00( na:- 2 )
b) On a,