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Solutions des exercices
> z0 :=-0.999 :
> N:=solve (alpha (n+1 ,z0)=1E-6 ,n) ;
N := -0 . 9876932781, 47629 .49147
Il est peu raisonnable de devoir sommer environ cinquante mille termes pour
obtenir une valeur approchée de S(-0.999) avec une erreur de l'ordre de 10 - 6.
La transformée d'Euler-Abel, comme nous allons le voir, va permettre d'accélérer la convergence de la série vers sa somme.
2 - a) Comme pour tout z E D(O, 1) on a f( z ) = 2:�:0 an z n , la fonction g est
définie sur D(O, 1) \ {O} et pour tout z E D(O, 1) \ {O}, on a:
l +oo
+oo
+oo
+oo
g( z) = - L an z n = L an z n - i = L a k+l z k =ai+ L a k+l z k .
Z n=i
n=i
k=O
k=i
On en déduit que limz .... . o g( z) = ai et par conséquent que g est prolongeable
par continuité en 0 en posant g(O) =ai.
b) D'aprês le calcul précédent, il vient pour tout z E D(O, 1)
+oo
+oo
+oo
(1 -z)g( z) = (1 -z) L an +l Z n = L an +l Z n - L an +i z n+l
n=O
n=O
n=O
+oo
+oo
ai+ L (an +l - an) Z n = ai+ L D. 11 1 an Z n
n=i
n=i
+oo
ao +(ai - ao) + � D. 11 1 an z n
'--V-'
�
11 1
n=i
� a o
+oo
� A [l)
n
ao+ � u anz.
n=O
c)
Puisque pour tout z E D(O, 1) \ {O} on a g( z) = �( f( z ) - ao), on en
déduit que :
z
f( z ) = ao + zg( z) = ao + 1
_
z (l -z)g( z)
+oo
+oo
= · ao + _ z _ ( ao + � D. 11 1 anz n ) = � + _ z _ � D. 11 J anz n .
l -z
�
l -z l -z �
n=O
n=O
Pour z = 0, la relation est encore vraie car f (0) = 0 et pour z = 0 on a
_J!lL
z '°'+oo A 11 1
n _
i -z + i -z Lm=O u an Z - ao.
d) Utilisons un raisonnement par récurrence pour établir la formule d'EulerAbel à l'ordre p. Elle s'écrit :
p - i
k
+oo
� lk J
z
zP
�
(Pl
n
( E p) f( z ) = � Â ao (l
_
z) k+l + (l
_
z)P � Â an z V z E D(O, 1).
k=O
n=O
Pour p = 1 la relation ( Ei) est vraie, elle a été établie à la question précédente.
Supposons pour un entier p � 1 fixé la relation ( E p) vraie et montrons que la
relation (Ev +i ) est vraie.