Séries entières
295
Cette quantité tend vers 1 quand n tend vers +oo ce qui indique que le rayon
de convergence de la série L n n11: z n est 1.
b) On a S(-0.99) = L:�:i_ (-l)"n1T(0.99) n . Pour tout n E N* , posons
a n = n 7T (0.999) n = exp(7r ln(n) + n ln (0.99)). La suite (a:n)n est clairement une
suit e à termes positifs . De plus, la suite (a:n)n converge vers 0 car
1T ln(n) = 0 + 00(n ln (0.99)) et limn .... .. +oo n ln (0.99) = -oo puisque ln (0.99) < O.
Pour pouvoir appliquer le critère spécial pour les séries alternées à la série
l: n (-l) n n 7T (0.999)", il reste à vérifier que la suite (a:n)n est décroissante.
Pour tout n E N* on a
f3n = O:n+ I = 0.99 (1 + l/nt = 0.99 exp (7r ln (1+1/n)).
O:n
Il est difficile d'établir que f3n � 1 directement. Toutefois, la suite (f3n)n admet
pour limite 1. Elle est strictement croissante car les fonctions exponentielle et
logarithme étant strictement croissantes, pour tout (n, p ) EN* x N* on a
n < p {=::: :} ln (1 + l/n) < ln (1 + l/ p )
{=::: :}
exp (7r ln (l + l/n)) < exp (7r ln (l + l/ p )) {=::: :} f3n < /3p
Ceci implique que pour tout n E N* on a f3n = a� + i < 1. On en déduit que la
suite ( O:n )n est décroissante.
"
On déduit du critère spécial pour les séries alternées <42J que la série numérique
l: n (-l)"n 7T (0.99)" est une série alternée convergente. Par conséquent, son reste
d'ordre N est majoré par le premier terme négligé <43J , i.e.
1
+oo
I S(-0.99) -SN (-0.99) 1 = I:: (-l)"a:n � O:N+l = (N + l t (0.99) N +I .
n=N+l
c)
On peut obtenir une valeur approchée à 10-G prés de la valeur de
S(-0.99) avec MAPLE de la manière suivante :
> z0 :=-0 .99:
> alpha :=(n,z)->n* *Pi*abs (z) **n:
> N:=solve (alpha (n+1 ,z0)=1E-6 ,n) ;
N := -0 . 9876928418 , 3963 .443 118
> SP := (N , z)-> swn (evalf (n-Pi*Z**n) ,n=O .. N) :
> SP (ceil (N [2] ),z0) ;
0.21856
Avec la valeur z = -0.99, le rang à partir duquel la somme partielle SN (z)
constitue une valeur approchée de S(z) est 3964. Avec la valeur z = -0.999, le
rang à partir duquel la somme partielle SN (z) constitue une valeur approchée
de S(z) est 47630 comme l'indique le calcul suivant :
( 42 ) Vo ir le théorème 1 .3 p. 42.
<43> Voir la proposition 1 . 15 p. 44.