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Solutions des exercices
b) Montrons que la série de fonctions L n l n de terme général
l n : B E R f-+ (-1r (��; , sin 2n (B) où xo E R'.f- est fixé, converge normalex2n
ment sur R On a supll E IR lln(B)/ = � · Intéressons-nous à la nature de la
série de terme général Un= (��; , pour x0 E R'.f- fixé. La quantité
U n+I
Xo
1 1
2
�
= (2n+1)(2n+2)
tendant vers 0 quand n tend vers +oo, le critère de D'Alembert indique que la
série L n U n converge. On en déduit que la série de fonctions L n In converge
normalement et par conséquent uniformément sur R
Calculons la somme de la série de fonctions L n l n · Pour tout x ER, on a
+oo
+oo
2n
+oo
(
·
(B)) 2n
L l n (x) = L: ( -1r � sin 2n (B) = 2:: (- 1r
xo sm
n=O
n=O
(2n)!
n=O
(2n)!
Comme cos(u) = L�,:0(-lr (�:;,, on en déduit que L �,:O l n (x) = cos(xo sin(B)).
c)
D'après le théorème 3.8 p. 136, la convergence uniforme sur R et donc
sur (0, 7r] de la série de fonctions L n l n permet d'écrire pour tout xo E R+
fixé :
r
r
+oo
+oo r
Jo
cos(x sin(B)) dB =
Jo L l n (B) dB = L J o l n (B) dB.
0
0 n=O
n=O O
Or,
x 2n 1,..
( - lr - 0sin 2 n (B) dB
(2n)! 0
x 2n
(-1r (2 � )! I2n
n x5 n (2n)! 7r
(-1) (2n)! 22n(n!)2 .
On en déduit que pour tout xo E R'.f-, on a
1 11'
+oo
2n (2 ) 1
cos(x sin(B)) dB = 7r L (-l) n
(
Xo
) ' 2n� l ·
) 2,
0
2n . 2 n.
n=O
1
1
11'
autrement dit, que Jo (xo) = -
cos(xo sin(B)) dB.
7r 0
SOLUTION DE L'EXERCICE 5.11
1 - a) Pour calculer le rayon de convergence de la série entière L n�l n,.. z n on
peut utiliser le critère de D'Alembert. Pour tout n EN* on a
/ (n :}),.. / = (1 + l/nt = exp (7r ln (1 + l/n)) .