Séries entières
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e) Montrons que J0 et T0 sont deux solutions de (l') linéairement indépendan tes. Supposons <4 •> qu'il existe (À, µ) E IR. 2 tel que ÀJo + µTo = 0 i.e. tel que
pour tout x E JR.+ on ait ÀJo(x) + µTo(x) = 0 et montrons que nécessairement
cela implique que À = µ = O.
Remarquons que l'on a lim n-+O + Jo (x) = 1 et lim n-+O + S(x) = 0 ce qui implique
que limn-o+ To (x) = -oo. Raisonnons par l'absurde et supposons que À =IO.
Pour tout x E JR.+ on a Jo (x) = - xTo (x) et par conséquent
� lim To (x) = - lim Jo (x) = -1 .
1\ n-+O+
n-+O+
Comme lim n -o+ T0 (x) = -oo, cette égalité est impossible et cela quelle que soit
la valeur deµ. On a donc nécessairement À= 0 et par conséquent µTo(x) = 0
pour tout x E JR.+. Comme T 0 (1) = 8( 1) =I 0, on a obligatoirementµ= O. On
en conclut que Jo et T0 sont deux solutions de ( E ) linéairement indépendantes.
3 - a) Intégrons par parties : pour tout p E N, on a
Ip = 1 1< sin(O) sin(0) 2 P - l dO
- [cos(O) sin(0) 2 P - l J: + (2p - 1) l'if cos(0) 2 sin(0) 2 P -2 dO
(2p - 1) l'if (1 - sin(0) 2 ) sin(0) 2 P- 2 dO = (2p - l)(Ip - l - Ip) ·
On en déduit que Ip = 2 �; 1 Ip- l ·
(2p)! 1f
Montrons par récurrence que pour tout p EN on a Ip = 22 P(p !)2
.
- Pour p = 0 comme O! = 1 et 2° = 1, on a 2��� 1)2 = 1f et Io = J 0 1f dO = Jr.
- Supposons, c'est notre hypothèse de récurrence, que la relation est vraie
1, t"
1 .
I - < 2 P -2 l '1f t
t
pour en ier p - , i.e. supposons que p - 1 - 2 2p 2 ((p - l ) ! } 2 e mon rons que
la relation varie pour l'entier p, i.e. montrons que Ip = i2�(�,)2 • On a
2p- 1
2p- 1 (2p-2)!7r
(2p- 1)!7r
lp = � Ip - 1 = � -
22 - p- -2 - ( - (p - - - l) - !)
-
2
= 22 p - l (p!(p _ 1)!)
=
(2p)!7r
(2p)!7r
2p22 p - l (p!(p
_ 1)!) 22P (p!)2
.
L ,
t h ,
t t
w
I
<2pJ ! 1f
a recurrence es ac evee : pour ou p E 1'1 on a p = 2 2 P (p ! ) 2 .
<41) Voir la définition 8.8 p. 317 du Cours de pl'emière année.