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Solutions des exercices
On en déduit que
2 S"( )
=
� (-l) n 2n(2n - l)a n ( � )2 n
X X �
(n!) 2
2 '
n=l
S'( ) = � (-l) n 2na n ( � )2 n
X X � (n!) 2 2 '
2
+ oo (-Iran ( x )2 n +2 + oo (-l) n a n-1 ( x )2 n
x S(x) =4 � (n!) 2 2
= -4
� ((n - 1)!) 2 2 .
On a donc
2 + oo ( l) n
2
x 2 S"(x) + x S'(x) + x 2 S(x)
=
-
4
(�) +
4
� ((n -=- l)!) 2 (an - a n- i ) (� ) n
( x )2 + oo (-l) n ( x )2 n
=
-
4 2
+
4
� n! ( n - 1 )! 2 ·
Par ailleurs,
2xJ0(x)
+ oo (-lr ( x )2 n -l + oo (-l) n ( x )2 n
2x � n!(n - 1)! 2
= 4 � n!(n - 1)! 2
( x )2 + oo (-l) n ( x )2 n
-4 2
+
4 � n!(n - 1)! 2 ·
On a donc bien x 2 S"(x) + x S'(x) + x 2 S(x)
=
2xJ0(x).
d) Pour montrer que l'application To : x E IR+ t--t ln(x)Jo(x) -S(x) est une
solution de ( E ), il faut montrer que x 2 T"(x) + x T'(x) + x 2 T(x)
=
0 pour tout
x E IR+. D'après la question précédente, on a
x 2 T"(x) + x T' (x) + x 2 T(x)
=
x 2 (ln(x)Jo(x))" + x (ln(x)Jo(x))'
+ x 2 ln(x)Jo(x) - (x 2 S"(x) + x S;(x) + x 2 S(x)) .
=2xJ�(x )
Or, (ln(x)Jo(x))'
=
�Jo(x) + ln(x)J0(x) et
d'où
(ln(x)Jo(x))"
=
-�Jo(x) + � J0(x) + ln(x)J�(x)
X
X
x 2 (ln(x)Jo(x))" + x (ln(x)Jo(x))' + x 2 ln(x)Jo(x)
=
2xJ0(x) + ln(x) (x 2 J�(x) + x J0(x) + x 2 Jo(x))
=
2xJ0(x)
=0
car J0 est solution de ( E ).