Séries entières
291
et lim k -++oo luk+i l/luk 1
O. On en déduit que la sene numérique
2.:n \n!)�· (�) 2n converge pour tout x ER Les fonctions aoJo sont donc solutions sur � de l'équation de Bessel ( E ).
2 - a) Pour montrer que Πn rv ln (n) , il faut montrer que lim Πn / ln(n) = 1.
+oo
n-++oo
Pour tout n E N*, on a
n l n 1.k+l l n 1.k+l l
"""" - = """"
- dx ;;:: """"
- dx
L.., , k L.., ,
k
L.., , . X
k=l k=l k
k=l k
n
L(ln (k + 1) - ln (k)) = ln (n + 1)
k=l
et pour tout entier n ;;:: 2
n l
n 1.k l
n 1.k l
Πn
L k = l+ L . k d x � l+L . ;- k=l
k=2 k- l
k=2 k- l
n
= 1 + L(ln(k - 1) - ln(k)) = 1 + ln (n) .
k=2
On en déduit que pour tout entier n;;:: 2, on a
ln (n + 1)
Πn 1 1
---� -- � +-ln(n) "" ln(n) ""
ln(n)
et on conclut par le théorème d'encadrement que lim n-++oo Œ n / ln (n) = 1.
b) Pour déterminer le rayon de convergence de la série entière lacunaire
Ln;;,l < - (
�!';f" (�) 2n
, utilisons le critère de D'Alembert pour les séries numé.
p
lTll
t
�T
(
- l) "a,. ( x ) 2n O
nques. our x E Jl'O. e n E i'il, posons U n = ( n!)2 2 . n a
Un+l Πn+l
X
X
1 1
)2 ( )2
�
= -;:
-
(
2(n+l) +� 2(n+l)
car d'après la question précédente Œ n+l
rv
ln(n + 1) rv ln(n) et Πn rv ln(n).
+oo
+oo
+oo
Pour tout x E � on a limn-++oo lun+il/lunl = 0 donc la série numérique
l:: n;;.1 (
- (�1)f" (�) 2n converge pour tout x ER
c)
Comme la série entière Ln;;.i (
- ( � ! ·;f " (�) 2n converge sur � ' elle a un
rayon de convergence infini et elle est indéfiniment dérivable sur � ' voir le
corollaire 5.3 p. 262. Pour tout x E � ' on a
S'( ) = � (-1rna n ( :, )
2n - 1
X
L.., ,
(n!) 2
2
'
n=l
S"( ) = � (-l) n an (2n - l)n ( :_ )
2n - 2
X � (n!) 2 2 2