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Solutions des exercices
.
d'' bl .
,
2 2k-l ((k - i)!) 2
0
d'd .
ce qm permet eta ir par recurrence que a 2 k =
(2k)!
. n en e mt
que l'unique série entière solution de l'équation ( E ) pour les conditions initiales
/
+oo 2 2k-l ((k - i)!) 2 2k
y(O) = 0 et y (0) = 0 est I: k=i
(2k)!
x .
Le rayon de convergence de cette série entière lacunaire est R = 1 et pour tout
x E] - 1, 1 [, on a
+oo 22 k-i ((k
_
1) 1 ) 2
arcsin(x) 2 = '""'
·
x 2 k
�
(2k)!
.
k=i
SOLUTION DE L'EXERCICE 5.10
1 - Supposons que (&) admette une solution f développable en série entière
dans un voisinage de l'origine : il existe un voisinage V de l'origine tel que pour
x E � + n V on ait f(x) = I:�,:O a nx n . On a alors
+oo
+oo
J' (x) = l:nanx n - i , J"(x) = L n(n - l)a n x n -2
n=i
n= 2
et en substituant ces expressions dans (&), il vient
+oo
x 2 y"(x) + xy'(x) + x 2 y(x) = aix + L( n(n - l)a n + nan + an -2 ) x n =O.
n= 2
On en déduit que pour que y soit solution de (&), on doit avoir
ai = 0 et n 2 an + an -2 = 0 pour tout entier n � 2.
La condition ai = 0 combinée à la relation a n = - ,; 2 an -2 permet d'établir
par récurrence que a n = 0 pour tout entier n impair. Par ailleurs, si n est un
entier pair tel que n = 2k avec k E N*, on établit par récurrence que
(- l) k
an = a 2k = 22 k (k!)2 ao.
On en déduit que les solutions de (&), développables en série entière dans un
voisinage de l'origine, sont les fonctions f définies par
+oo
+oo
+oo ( - l) k
+oo
( - l) k
2 k
f ( ) '""' n '""'
2k '""'
ao 2k
'""'
( x )
x = � anx = � a 2k X = � 22 k (k!)2
x = ao � (k!)2 2
n=O
k=O
k=O
k=O
Pour déterminer le rayon de convergence de la série entière lacunaire
I: n \�U2n (�) 2 n , utilisons le critère de D'Alembert pour les séries numériques.
( - i)k 2k
Pour x E �et k EN, posons U k = (k!)2 (�) . On a
'U k+i ' (k!) 2 (x)2 ( X ) 2
---; ;= ((k + 1)!)2 2 = 2(k + 1)