Séries entières
289
SOL UTION DE L'EXERCICE 5.9
1
- La fonction arc-sinus étant dérivable sur ] - 1, 1[ de dérivée l'application
x E] - 1, l[t--+ (1 - x 2 ) -! , on en déduit que pour x E] - 1, 1[ on a:
J' (x) = 2(1 - x 2 ) -! arcsin(x),
et
J"(x) = 2(1 - x 2 ) ( 1 + x(l - x 2 ) -! arcsin(x)) .
On peut remarquer que f"(x) = (1 - x 2 )(xf'(x) + 2), ce qui indique que f est
solution de l'équation différentielle (1 - x2 )y"(x) - xy'(x) = 2.
2
- Considérons l'équation différentielle normalisée associée à ( E ) sur ] - 1, 1[
qui est
(
"
)
"(
)
X ' ( )
2
c;,N
y X - -
l
-2
y X = - 1
-- 2 ·
- x
-x
Sur ] -1, 1[, les deux équations (&) et ( E N) sont équivalentes. Les applications
a1 : x E] - 1, l[t--+ i _.:'x2 et /3 : x E] - 1, l[t--+ i !x2 sont développables en
série entière dans un voisinage de l'origine puisque pour tout x E] - 1, li, on
a i !x2 = L:�:O x2 n . On déduit de la proposition 5.11 que toutes les solutions
de ( & N) (et par conséquent de ( E)) sont développables en série entière dans un
voisinage de l'origine.
Déterminons l'expression des solutions de ( E ) sur ] - 1, 1( comme sommes de
séries entières réelles. Considérons une solution y de ( E) sur ] - 1 , 1 [ de la forme
y(x) = L:�,:Oanx n . On a
+oo
y' (x) = L na nx n - i
n=i
ce qui implique que :
+oo
et y"(x) = L n(n - l)a n x n -2 ,
n= 2
(1 - x 2 )y"(x) - xy' (x) = 2a 2 + (6a 3 - ai)x
+oo
+ L((n + 2)(n + l)an + 2 - n 2 an) x n .
n: 2
On en déduit que 2a 2 = 2, que 6a 3 - ai = 0 et que pour tout entier n ;): 2 on a
(n + 2)(n + l)a n+ 2 - n 2 an � O. On a donc a 2 = 1, a 3 = ai et pour n ;): 2,
n2
a n+ 2 = (n+2)(n+l) a n .
Comme f(O) = 0 et f'(O) = 0, d'après le théorème de Cauchy (théorème 5.10
p. 272) l'application f est l'unique solution de l'équation ( E ) ou ( E N) vérifiant
les conditions y(O) = 0 et y'(O) = O. La condition y(O) = 0 implique que
ao = 0 et la condition y'(O) = 0 implique que ai =O. On déduit de la relation
2
an+ 2 = (n+2 ) (n+l) a n que pour tout entier n impair on a a n =O. Si n est pair
avec n = 2k, k ;): 2, cette relation devient
(2k - 2) 2
a 2 k = 2k(2k
_
1)
a 2 k -2 ,
289
SOL UTION DE L'EXERCICE 5.9
1
- La fonction arc-sinus étant dérivable sur ] - 1, 1[ de dérivée l'application
x E] - 1, l[t--+ (1 - x 2 ) -! , on en déduit que pour x E] - 1, 1[ on a:
J' (x) = 2(1 - x 2 ) -! arcsin(x),
et
J"(x) = 2(1 - x 2 ) ( 1 + x(l - x 2 ) -! arcsin(x)) .
On peut remarquer que f"(x) = (1 - x 2 )(xf'(x) + 2), ce qui indique que f est
solution de l'équation différentielle (1 - x2 )y"(x) - xy'(x) = 2.
2
- Considérons l'équation différentielle normalisée associée à ( E ) sur ] - 1, 1[
qui est
(
"
)
"(
)
X ' ( )
2
c;,N
y X - -
l
-2
y X = - 1
-- 2 ·
- x
-x
Sur ] -1, 1[, les deux équations (&) et ( E N) sont équivalentes. Les applications
a1 : x E] - 1, l[t--+ i _.:'x2 et /3 : x E] - 1, l[t--+ i !x2 sont développables en
série entière dans un voisinage de l'origine puisque pour tout x E] - 1, li, on
a i !x2 = L:�:O x2 n . On déduit de la proposition 5.11 que toutes les solutions
de ( & N) (et par conséquent de ( E)) sont développables en série entière dans un
voisinage de l'origine.
Déterminons l'expression des solutions de ( E ) sur ] - 1, 1( comme sommes de
séries entières réelles. Considérons une solution y de ( E) sur ] - 1 , 1 [ de la forme
y(x) = L:�,:Oanx n . On a
+oo
y' (x) = L na nx n - i
n=i
ce qui implique que :
+oo
et y"(x) = L n(n - l)a n x n -2 ,
n= 2
(1 - x 2 )y"(x) - xy' (x) = 2a 2 + (6a 3 - ai)x
+oo
+ L((n + 2)(n + l)an + 2 - n 2 an) x n .
n: 2
On en déduit que 2a 2 = 2, que 6a 3 - ai = 0 et que pour tout entier n ;): 2 on a
(n + 2)(n + l)a n+ 2 - n 2 an � O. On a donc a 2 = 1, a 3 = ai et pour n ;): 2,
n2
a n+ 2 = (n+2)(n+l) a n .
Comme f(O) = 0 et f'(O) = 0, d'après le théorème de Cauchy (théorème 5.10
p. 272) l'application f est l'unique solution de l'équation ( E ) ou ( E N) vérifiant
les conditions y(O) = 0 et y'(O) = O. La condition y(O) = 0 implique que
ao = 0 et la condition y'(O) = 0 implique que ai =O. On déduit de la relation
2
an+ 2 = (n+2 ) (n+l) a n que pour tout entier n impair on a a n =O. Si n est pair
avec n = 2k, k ;): 2, cette relation devient
(2k - 2) 2
a 2 k = 2k(2k
_
1)
a 2 k -2 ,