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Solutions des exercices
et
(1 - xt• = 1+ � (-l) n a(a - 1) .. . (a - n +l) x n .
�
n!
n=l
1 - La fonction arc-sinus est dérivable sur ] -1, 1[ et pour tout x E] -1, 1[, on a
arcsin' (x) = vl� x 2. Or, la fonction t � vl�t2 est développable en série entière
dans un voisinage de l'origine et pour tout t E] - 1, 1[, on a (prendre a = -!)
1
L +
oo 1 X 3 X 5 X ... X (2 n - 1) 2n
Vf=t2
=1+
t .
2 n n!
n=l
On déduit du corollaire 5.4 que pour tout x E] - 1, 1[, on a
1 x 1 d
� 1 X 3 X 5 X · · · X (2n - 1) 2n+l
arcsin(x) =
t = x + �
x
o Vf=t2
n=l
2 n n!( 2n + 1)
L +
oo 1 X 3 X 5 X · · · X (2n - 1) x 2 n+l
x+
-.
2 X 4 X 6 X ... X 2n 2n + 1
n=l
2 - Comme pour tout x E] -1, 1[, on a arccos(x) + arcsin(x) =� ' on en déduit
que la fonction arc-cosinus est développable en série entière dans un voisinage
de l'origine et que pour tout x E] - 1, 1[ on a
.
- � - - � 1 X 3 X 5 X ... X (2n - 1) x 2 n+l
a1ccos(x) - 2
x � 2 4 6
2 2 1 .
n=l
X
X
X ... X n n +
3 - La fonction argument sinus hyperbolique est dérivable sur lR et pour tout
x E lR on a argsh ' (x) = vi� x 2 • Or, la fonction t � vi�t2 est développable
en série entière dans un voisinage de l'origine et pour tout t E] - 1, 1[, on a
(prendre a = -! )
1
L +
oo ( ) n 1 X 3 X 5 X ... X (2 n - 1) 2n
� = 1+ -1
t .
y .l -r in=l
2 n n!
On déduit du corollaire 5.4 que pour tout x E] - 1, 1[ on a
( )
1 x 1 d
� ( ) n 1 X 3 X 5 X · · · X (2 n - 1) 2n+l
argsh x =
t = x + � -1
x
o Jl+t2
n=l
2 n n!(2n + 1)
� n 1 X 3 X 5 X • · · X (2n - 1) x 2n+ l
X + � ( - l) 2 X 4 X 6 X ... X 2n 2n + 1
.
n=l
4 - La fonction argument cosinus hyperbolique n'étant pas définie sur un voisinage de l'origine (son ensemble de définition est [1, +oo [) , elle n'est pas développable en série entière dans un voisinage de l'origine.
Solutions des exercices
et
(1 - xt• = 1+ � (-l) n a(a - 1) .. . (a - n +l) x n .
�
n!
n=l
1 - La fonction arc-sinus est dérivable sur ] -1, 1[ et pour tout x E] -1, 1[, on a
arcsin' (x) = vl� x 2. Or, la fonction t � vl�t2 est développable en série entière
dans un voisinage de l'origine et pour tout t E] - 1, 1[, on a (prendre a = -!)
1
L +
oo 1 X 3 X 5 X ... X (2 n - 1) 2n
Vf=t2
=1+
t .
2 n n!
n=l
On déduit du corollaire 5.4 que pour tout x E] - 1, 1[, on a
1 x 1 d
� 1 X 3 X 5 X · · · X (2n - 1) 2n+l
arcsin(x) =
t = x + �
x
o Vf=t2
n=l
2 n n!( 2n + 1)
L +
oo 1 X 3 X 5 X · · · X (2n - 1) x 2 n+l
x+
-.
2 X 4 X 6 X ... X 2n 2n + 1
n=l
2 - Comme pour tout x E] -1, 1[, on a arccos(x) + arcsin(x) =� ' on en déduit
que la fonction arc-cosinus est développable en série entière dans un voisinage
de l'origine et que pour tout x E] - 1, 1[ on a
.
- � - - � 1 X 3 X 5 X ... X (2n - 1) x 2 n+l
a1ccos(x) - 2
x � 2 4 6
2 2 1 .
n=l
X
X
X ... X n n +
3 - La fonction argument sinus hyperbolique est dérivable sur lR et pour tout
x E lR on a argsh ' (x) = vi� x 2 • Or, la fonction t � vi�t2 est développable
en série entière dans un voisinage de l'origine et pour tout t E] - 1, 1[, on a
(prendre a = -! )
1
L +
oo ( ) n 1 X 3 X 5 X ... X (2 n - 1) 2n
� = 1+ -1
t .
y .l -r in=l
2 n n!
On déduit du corollaire 5.4 que pour tout x E] - 1, 1[ on a
( )
1 x 1 d
� ( ) n 1 X 3 X 5 X · · · X (2 n - 1) 2n+l
argsh x =
t = x + � -1
x
o Jl+t2
n=l
2 n n!(2n + 1)
� n 1 X 3 X 5 X • · · X (2n - 1) x 2n+ l
X + � ( - l) 2 X 4 X 6 X ... X 2n 2n + 1
.
n=l
4 - La fonction argument cosinus hyperbolique n'étant pas définie sur un voisinage de l'origine (son ensemble de définition est [1, +oo [) , elle n'est pas développable en série entière dans un voisinage de l'origine.