278
Séries entières et équations différentielles
Comme a0 =f. 0, la première équation impose que le paramètre r doit être fixé tel
que r 2 = v 2 . Autrement dit, il existe une solution de la forme (12) à l'équation
de Bessel (11) pour r = v et pour r = -v et uniquement dans ces deux cas. La
troisième équation quant à elle indique que pour tout entier n � 2 on a
1
(14)
an = - n ( n + 2r) an - 2·
Distinguons les deux situations correspondant à r = v et r = -v.
Cas où r = v
La seconde équation du système (13) devient a1(1 + 2v) = 0 et comme v � 0 on
a nécessairement a1 = O . La relation (14) indique alors que pour tout entier n
impair an = O . Si n est un entier pair tel que n = 2k avec k E N, la relation (14)
fournit par récurrence l'expression
(- l ) k ao
a 2k = -
2 2
�
k - k -
! ( _ l _ + _ v _ ) .. .,. .. (2
�
+ - v) - .- .
- . ( _ k _ +
_ v
_ ) 'Vk EN* .
Cas où r = -v
La seconde équation du système (13) devient a1(1 - 2v) = O . Si v =f. � on a
nécessairement a1 = O . La relation (14) indique que si n est un entier impair
alors a n = 0 et que si n est un entier pair de la forme n = 2k avec k E N alors
(- l ) k a o
an = a 2k = 2 2k k! (1 - v)(2 - v) .. · (k - v) '
Si v = �, a1 n'est pas nécessairement nul mais on vérifie que la prise en compte
de cette possibilité fournit des solutions déjà exprimées.
On peut conclure que les solutions de l'équation de Bessel d'ordre v de la
forme (12) sont les fonctions
J,,, : X E IR� !--- -- --+ aox" S,,, (x) et J_ ,,, : X E IR�!--- -- --+ aox - v s_,,, (x)
où S,,, et s_,,, sont les sommes des séries entières de rayon de convergence +oo
définies par
S,,, : X E lR !--- -- --+
S_,,, : X E JR i--- -- -+
+oo
(- l) k
1 + ""'�----"--- -----'- ------- x 2k
t:i 2 2k k ! (1 + v)(2 + v) · · · (k + v)
+oo
(- l) k
1 2:
2k
+
-=-c 2k ,--- ,.-,-----,. ---,-- ---,-- ---,- X
•
k= I 2 · k ! (1 - v)(2 - v) ... (k - v)
On appelle fo nctions de Bessel de première espèce les deux fonctions J,,, et J_ ,,,
correspondant au choix
1
ao = -
2n
_ r
_ ( _ l
_
+
_ v
_ )
' ( 3 5)
ou
r +oo
f( l + v) = J o
t" e - t dt.
<3 5> La fonction r est connue sous le nom de fonction Gamma d'Euler.
Séries entières et équations différentielles
Comme a0 =f. 0, la première équation impose que le paramètre r doit être fixé tel
que r 2 = v 2 . Autrement dit, il existe une solution de la forme (12) à l'équation
de Bessel (11) pour r = v et pour r = -v et uniquement dans ces deux cas. La
troisième équation quant à elle indique que pour tout entier n � 2 on a
1
(14)
an = - n ( n + 2r) an - 2·
Distinguons les deux situations correspondant à r = v et r = -v.
Cas où r = v
La seconde équation du système (13) devient a1(1 + 2v) = 0 et comme v � 0 on
a nécessairement a1 = O . La relation (14) indique alors que pour tout entier n
impair an = O . Si n est un entier pair tel que n = 2k avec k E N, la relation (14)
fournit par récurrence l'expression
(- l ) k ao
a 2k = -
2 2
�
k - k -
! ( _ l _ + _ v _ ) .. .,. .. (2
�
+ - v) - .- .
- . ( _ k _ +
_ v
_ ) 'Vk EN* .
Cas où r = -v
La seconde équation du système (13) devient a1(1 - 2v) = O . Si v =f. � on a
nécessairement a1 = O . La relation (14) indique que si n est un entier impair
alors a n = 0 et que si n est un entier pair de la forme n = 2k avec k E N alors
(- l ) k a o
an = a 2k = 2 2k k! (1 - v)(2 - v) .. · (k - v) '
Si v = �, a1 n'est pas nécessairement nul mais on vérifie que la prise en compte
de cette possibilité fournit des solutions déjà exprimées.
On peut conclure que les solutions de l'équation de Bessel d'ordre v de la
forme (12) sont les fonctions
J,,, : X E IR� !--- -- --+ aox" S,,, (x) et J_ ,,, : X E IR�!--- -- --+ aox - v s_,,, (x)
où S,,, et s_,,, sont les sommes des séries entières de rayon de convergence +oo
définies par
S,,, : X E lR !--- -- --+
S_,,, : X E JR i--- -- -+
+oo
(- l) k
1 + ""'�----"--- -----'- ------- x 2k
t:i 2 2k k ! (1 + v)(2 + v) · · · (k + v)
+oo
(- l) k
1 2:
2k
+
-=-c 2k ,--- ,.-,-----,. ---,-- ---,-- ---,- X
•
k= I 2 · k ! (1 - v)(2 - v) ... (k - v)
On appelle fo nctions de Bessel de première espèce les deux fonctions J,,, et J_ ,,,
correspondant au choix
1
ao = -
2n
_ r
_ ( _ l
_
+
_ v
_ )
' ( 3 5)
ou
r +oo
f( l + v) = J o
t" e - t dt.
<3 5> La fonction r est connue sous le nom de fonction Gamma d'Euler.