Séries entières
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y (x) = xr L:�:O anx n où r est un paramètre réel et c32> a0 =f:. O. On montre c33>
que sous l'hypothèse que les deux fonctions Ni : x 1-+ xai ( x) / ao ( x) et
N 2 : x t-+ x 2 a 2 (x)/a0(x) sont développables en série entière dans un voisinage de l'origine c34> , il existe au moins un réel r et une fonction f développable
en série entière dans un voisinage de l'origine vérifiant f (0) =f:. 0 tel que l'application x E V n JR.+ t-+ x r f(x) soit solution de l'équation différentielle (10) sur
V n JR.+.
Présentons l'utilisation de la méthode de Frobenius en considérant l'équation
de Bessel d'ordre v
x 2 y"(x) + x y(x) + (x 2 - v 2 ) y(x) = 0
(11)
où v désigne un réel positif fixé. La fonction Ni est la fonction constante égale
à 1 et N 2 : ;r t-+ x 2 - v 2 ; ces deux fonctions sont développables en série entière
dans un voisinage de l'origine. Recherchons une solution de l'équation de Bessel
qui soit de la forme
+oo
+oo
y (x) = X r L an X n = L anx n + r
n=O
n=O
où r désigne un réel fixé à déterminer. Formellement, on a
+oo
+oo
(12)
y ' (x) = L an(n + r)x n+ r - i et y"( x) = L· an(n + r)(n + r - l )x n+ r - 2
n=O
n=O
et en substituant ces relations dans le membre de gauche de l'équation (11) , on
obtient :
x 2 y" (x) +x y (x) + (x 2 - v 2 )y(x)
+ oo
+oo
= L an((n + r) 2 - v 2 )x r +n + L anx r +n+ 2
n=O
n=O
+oo
= x r ( ao (r 2 - v 2 ) +ai ((r + 1) 2 - v 2 )x + L (an((n + r) 2 - v 2 ) + an - 2 ) x n ).
n= 2
Pour que l'équation (11) soit satisfaite pour tout x E IR., il faut donc que
{ ao(r 2 - v2) = 0
ai((r+1) 2 - v 2 )
=
0
an((n + r) 2 - v 2 ) + an_ 2
0 pour tout entier n;;::: 2.
(13)
<32> La situation où ao = 0 revient à considérer la même forme de solution avec r + 1 au lieu
de r comme paramètre.
<33> voir par exemple K. YosmA, Équations Différentielles et Intégrales, Dunod, Paris, 1971.
<34> Le point 0 est alors appelé. point singulier régulier de l'équation différentielle (10).