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Séries entières et équations différentielles
où les fonctions réelles de la variable réelle a 0 , a 1 , ... , a n et (3 sont supposées
développables en série entière sur un voisinage ] - R, R[ (R E JR+ U { +oo})
de l'origine. Cette équation n'est pas écrite sous forme normalisée et deux
situations peuvent se produire selon l'expression de a 0 .
1. Si ao (O)-/:- 0 alors il existe Ro E JR+ U { +oo} tel que les fonctions �, ... , �
et -fo soient développables en série entière sur l'intervalle ] - Ro , Ro [. On
peut appliquer la méthode précédente à l'équation normalisée issue de (9).
On dit que 0 est un point régulier pour l'équation différentielle.
2. Si ao(O) = 0 alors la méthode précédente ne s'applique plus et il n'est pas
certain que l'équation différentielle (9) admette des solutions développables
en série entière (elle peut toutefois en admettre). On dit que 0 est un point
singulier pour l'équation différentielle.
Exemples
1. Le point 0 est un point singulier de l'équation différentielle du second ordre
x 2 y"(x) +xy'(x) + (x 2 - l)y(x) =O. Recherchons une solution de cette équation
qui soit développable en série entière dans un voisinage de l'origine. Formellement, les coefficients (a11) n EN de la série entière I: n an x n solution vérifient les
relations suivantes obtenues par la méthode exposée précédemment :
ao = 0, 2a 1 = 0 et pour n? 2 an +2 + (n + l)(n - l)a n = O.
On en déduit que a n = 0 pour tout n E Net la fonction nulle est la seule solution
de l'équation développable en série entière dans un voisinage de l'origine.
2. Le point 0 est un point singulier de l'équation différentielle du second ordre
xy"(x) + (x + l)y'(x) + y(x) = 0 mais cette équation admet des solutions
développables en série entière dans un voisinage de l'origine. On vérifiera, en
utilisant la méthode présentée dans la section 5.4.1, que la somme de la série entière I: n ao c-;r x n (où ao désigne une constante réelle) est solution de
l'équation différentielle. Dans ce cas particulier, on peut expliciter la somme de
la série entière solution ; il s'agit de la fonction x 1--- -t a 0 e -x .
Plus généralement, si les fonctions réelles de la variable réelle ao , a 1 , ... , Œn
et (3 sont supposées développables en série entière sur un voisinage V de xo , le
changement de variable t = x - xo permet de se ramener à la situation d'un
point régulier ou singulier situé en O.
Dans le cas où 0 est un point singulier, la recherche de solutions à l'équation
différentielle (9) dans un voisinage de 0 peut s'effectuer en ayant recours à
la méthode de Frobenius que nous allons exposer dans le cas d'une équation
différentielle d'ordre 2.
Considérons une équation différentielle linéaire du second ordre de la forme
ao (x)y"(x) + a 1 (x)y ' (x) + a 2 (x)y(x) = 0
(10)
dont 0 est un point singulier. La méthode de Frobenius consiste à rechercher des
solutions de l'équation différentielle ( 10) qui sont de la forme
Séries entières et équations différentielles
où les fonctions réelles de la variable réelle a 0 , a 1 , ... , a n et (3 sont supposées
développables en série entière sur un voisinage ] - R, R[ (R E JR+ U { +oo})
de l'origine. Cette équation n'est pas écrite sous forme normalisée et deux
situations peuvent se produire selon l'expression de a 0 .
1. Si ao (O)-/:- 0 alors il existe Ro E JR+ U { +oo} tel que les fonctions �, ... , �
et -fo soient développables en série entière sur l'intervalle ] - Ro , Ro [. On
peut appliquer la méthode précédente à l'équation normalisée issue de (9).
On dit que 0 est un point régulier pour l'équation différentielle.
2. Si ao(O) = 0 alors la méthode précédente ne s'applique plus et il n'est pas
certain que l'équation différentielle (9) admette des solutions développables
en série entière (elle peut toutefois en admettre). On dit que 0 est un point
singulier pour l'équation différentielle.
Exemples
1. Le point 0 est un point singulier de l'équation différentielle du second ordre
x 2 y"(x) +xy'(x) + (x 2 - l)y(x) =O. Recherchons une solution de cette équation
qui soit développable en série entière dans un voisinage de l'origine. Formellement, les coefficients (a11) n EN de la série entière I: n an x n solution vérifient les
relations suivantes obtenues par la méthode exposée précédemment :
ao = 0, 2a 1 = 0 et pour n? 2 an +2 + (n + l)(n - l)a n = O.
On en déduit que a n = 0 pour tout n E Net la fonction nulle est la seule solution
de l'équation développable en série entière dans un voisinage de l'origine.
2. Le point 0 est un point singulier de l'équation différentielle du second ordre
xy"(x) + (x + l)y'(x) + y(x) = 0 mais cette équation admet des solutions
développables en série entière dans un voisinage de l'origine. On vérifiera, en
utilisant la méthode présentée dans la section 5.4.1, que la somme de la série entière I: n ao c-;r x n (où ao désigne une constante réelle) est solution de
l'équation différentielle. Dans ce cas particulier, on peut expliciter la somme de
la série entière solution ; il s'agit de la fonction x 1--- -t a 0 e -x .
Plus généralement, si les fonctions réelles de la variable réelle ao , a 1 , ... , Œn
et (3 sont supposées développables en série entière sur un voisinage V de xo , le
changement de variable t = x - xo permet de se ramener à la situation d'un
point régulier ou singulier situé en O.
Dans le cas où 0 est un point singulier, la recherche de solutions à l'équation
différentielle (9) dans un voisinage de 0 peut s'effectuer en ayant recours à
la méthode de Frobenius que nous allons exposer dans le cas d'une équation
différentielle d'ordre 2.
Considérons une équation différentielle linéaire du second ordre de la forme
ao (x)y"(x) + a 1 (x)y ' (x) + a 2 (x)y(x) = 0
(10)
dont 0 est un point singulier. La méthode de Frobenius consiste à rechercher des
solutions de l'équation différentielle ( 10) qui sont de la forme