Séries entières
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FROBENIUS, Ferdinand Georg (1849, Charlottenbourg - 1917, Berlin) .
Frobenius fut l'élève de Weierstrass à l'Université de Berlin
avant d'obtenir un poste de Professeur à !'École polytechnique fédérale de Zurich. Il est l'un des premiers à s'intéresser à la théorie des groupes· . Il travaille aussi en algèbre
linéaire et donne en 1878 la première démonstration générale
du théorème de Cayley-Hamilton. En analyse, il étudie les
fonctions elliptiques et les équations aux dérivées partielles,
et s'intéresse à la théorie des nombres, en particulier à la fonction ( 31 > Zeta de Riemann.
Plus généralement, on appelle équation d'Airy une équation différentielle de la
forme
y "(x) + 1 xy(x) = 0
où 'Y désigne un réel strictement positif fixé. Il est aisé de vérifier en reprenant
ce qui vient d'être fait qu'une base du JR-espace vectoriel des solutions de cette
nouvelle équation d'Airy est (fa, fi) où fa et fi sont les deux applications de lR
d l!l)
l!l) d , .
"è l
. ( 3
0 )
ans ll'I>, sommes sur J1'I.. es senes ent1 res acunaires
+ oo
k Il k (3 . 2 )
l + '°' (- l ) k 'Y i=l i- x 3 k
L._;
(3k)!
k=l
et
+ oo
k Il k (3 . 1 )
'°' (- l ) k 1 i=l i - 3 k+l
x+ L._;
(3k + l ) ! X .
k=l
On remarquera que la méthode présentée ici fournit les solutions d'une équation
différentielle comme somme de séries entières et qu'il est en général malaisé
(voire impossible) d'en déduire l'expression des solutions à l'aide des fonctions
usuelles.
Par ailleurs, signalons que si les fonctions a1, . .. , a n et f3 sont développables
en série entière sur un voisinage V de x 0 E JR* alors le changement de variable
t = x - x 0 permet d'établir que les solutions de l'équation différentielle considérée sont développables en série entière sur V et on peut procéder comme dans
l'exemple de l'équation d'Airy présenté.
5.4.2 La méthode de Frobenius
Considérons à présent une équation différentielle linéaire d'ordre p (p E .N*) de
la forme
ao(x)y C P l (x) + a1(x) yC P - 1 >(x) + ... + O:p - 1(x) y ' (x) + o:p (x) y(x) = f3(x) (9)
( 3o ) On vérifiera en utilisant par exemple le critère de D'Alembert que ces séries entières ont
un rayon de convergence infini.
<31 > On pourra consulter le chap. 3 p. 129 pour une étude de la fonction Zeta de Riemann.
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FROBENIUS, Ferdinand Georg (1849, Charlottenbourg - 1917, Berlin) .
Frobenius fut l'élève de Weierstrass à l'Université de Berlin
avant d'obtenir un poste de Professeur à !'École polytechnique fédérale de Zurich. Il est l'un des premiers à s'intéresser à la théorie des groupes· . Il travaille aussi en algèbre
linéaire et donne en 1878 la première démonstration générale
du théorème de Cayley-Hamilton. En analyse, il étudie les
fonctions elliptiques et les équations aux dérivées partielles,
et s'intéresse à la théorie des nombres, en particulier à la fonction ( 31 > Zeta de Riemann.
Plus généralement, on appelle équation d'Airy une équation différentielle de la
forme
y "(x) + 1 xy(x) = 0
où 'Y désigne un réel strictement positif fixé. Il est aisé de vérifier en reprenant
ce qui vient d'être fait qu'une base du JR-espace vectoriel des solutions de cette
nouvelle équation d'Airy est (fa, fi) où fa et fi sont les deux applications de lR
d l!l)
l!l) d , .
"è l
. ( 3
0 )
ans ll'I>, sommes sur J1'I.. es senes ent1 res acunaires
+ oo
k Il k (3 . 2 )
l + '°' (- l ) k 'Y i=l i- x 3 k
L._;
(3k)!
k=l
et
+ oo
k Il k (3 . 1 )
'°' (- l ) k 1 i=l i - 3 k+l
x+ L._;
(3k + l ) ! X .
k=l
On remarquera que la méthode présentée ici fournit les solutions d'une équation
différentielle comme somme de séries entières et qu'il est en général malaisé
(voire impossible) d'en déduire l'expression des solutions à l'aide des fonctions
usuelles.
Par ailleurs, signalons que si les fonctions a1, . .. , a n et f3 sont développables
en série entière sur un voisinage V de x 0 E JR* alors le changement de variable
t = x - x 0 permet d'établir que les solutions de l'équation différentielle considérée sont développables en série entière sur V et on peut procéder comme dans
l'exemple de l'équation d'Airy présenté.
5.4.2 La méthode de Frobenius
Considérons à présent une équation différentielle linéaire d'ordre p (p E .N*) de
la forme
ao(x)y C P l (x) + a1(x) yC P - 1 >(x) + ... + O:p - 1(x) y ' (x) + o:p (x) y(x) = f3(x) (9)
( 3o ) On vérifiera en utilisant par exemple le critère de D'Alembert que ces séries entières ont
un rayon de convergence infini.
<31 > On pourra consulter le chap. 3 p. 129 pour une étude de la fonction Zeta de Riemann.