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Séries entières et équations différentielles
On peut remarquer qu'aucune condition ne s'applique à ao et a 1 , ce qui signifie que quelles que soient les valeurs prises pour a0 et a 1 , on obtient une
solution de l'équation d' Airy développable en série entière. Cela n'est guère
surprenant car l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire du
second ordre homogène est un R-espace vectoriel de dimension 2. Par ailleurs,
on peut remarquer que ao = y(O) et a 1 = y'(O), autrement dit que les valeurs
de ao et a 1 sont déterminées par les conditions initiales ce qui est conforme au
théorème 5.10.
On déduit de ce qui précède que les réels an s'obtiennent de la manière suivante :
ao et a 1 sont quelconques, a 2 = 0 et pour tout entier n � 3
1
an = - ( ) an - 3·
n n - 1
Comme a2 = 0, on obtient an = 0 pour tout n = 3k + 2 avec k E N . Si n= 3k
avec k E N*, on a
1
a 3k = - 3k(3k _ l ) a 3{k - 1 )
et on vérifie par récurrence que pour tout k E N*,
k
1
(- l ) k . k
a 3k = (- l ) k D 3i (3i - 1) ao = (3k) �
o
D (3i - 2).
Si n = 3k + 1 avec k E N*, on a
1
1
a 3k+I = - (3k + 1) 3k a 3k -2 = - 3k(3k + 1) a 3{k - 1 ) +1
et on vérifie par récurrence que pour tout k E N*,
k
1
( -1 ) k k
a 3k+l = (- l ) k D 3i(3i + 1) a1 = (3k + �)! D (3i - 1) .
Les solutions de l'équation d'Airy sont donc de la forme :
=
+oo
+oo
L a 3kX 3k + L a 3k+IX 3k+l
k=O
k=O
a (1 + �(- l ) k n:=l (3i - 2) x 3k )
0
�
(3k) !
k=l
+a (x + � (- l ) k n:=l (3i - 1) x 3k+l ) .
1
�
(3k + 1)!
k=l
Une base du R-espace vectoriel des solutions de l'équation d'Airy est (!0, fi )
où f o et fi sont les deux applications de R dans R, sommes sur R des séries
entières lacunaires
1 + � (-1) k TI7=1 (3i - 2) x 3k
k=l
(3k) !
et
+oo
I] k (3i - 1)
x + L(-l) k • =l
x 3k+I .
k=l
(3k + 1)!