Séries entières
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Illustrons par un exemple l'utilisation de la proposition 5.11 ; considérons l'équation différentielle
y"(x) + xy(x) = 0
connue sous le nom d'équation d'Airy
<29> , qui apparaît dans la modélisation
de nombreux phénomènes physiques comme les phénomènes de diffraction ou
encore l'aérodynamique. La fonction a 1 : x f-+ x est développable en série entière sur lR et la proposition 5.11 nous indique que les solutions de l'équation
d'Airy sont toutes développables en série entière sur R Une solution de l'équation d'Airy s'écrira sur lR sous la forme y(x) = 2:�:0 anx n où les coefficients
(an)nEN vérifieront des relations de récurrence que l'on va obtenir formellement
en écrivant que cette série entière est solution de l'équation d' Airy. On a
et
+oo
+oo
y'(x) = L:nan x n - l
= L (n+ l ) an +iX n
y" (x)
y"(x) + xy(x)
n=l
n=O
+oo
+oo
L n(n - 1) an x n -2 L(n +2)(n + 1) an + 2 x n
n= 2
n=O
+oo
+oo
L(n+2)(n+ l )an+ 2 x n + L an x n+l
n=O
n=O
+oo
+oo
2a 2 + L (n + 2)(n + l )an + 2 x n + L an - 1 x n
n=l
n=l
+oo
= 2a 2 + L ((n + 2)(n + l )an+ 2 + an - 1) x n .
n=l
On en déduit que pour que y soit solution de l'équation d'Airy, il faut que pour
tout x E lR
+oo
2a 2 + L ((n + 2)(n + 1) an+ 2 + an - 1) x n =O.
n=l
Cette relation indique que la série entière E n Cn X n où c0 = 2a 2 et
Cn = (n + 2)(n + l )an+ 2 + an-1 pour tout n EN* est égale à la série nulle. Or,
deux séries entières sont égales si et seulement si elles ont mêmes coefficients :
pour tout n EN on a donc Cn = O. Les coefficients (an)nEN vérifient par conséquent les relations : 2a 2 = 0 et (n+2)(n+ l )an+ 2 + an - 1 = 0 pour tout n E N*.
On en déduit que
et
1
an + 2 = - (n + 2)(n + l ) an - 1 Vn EN* .
<29> A1Rv, George Biddell (1801, Alnwick, Angleterre - 1892, Greenwich) . Mathématicien et
astronome, on lui doit en particulier de nombreuses mesures pendulaires pour déterminer
la masse de la Terre et une théorie des arcs-en-ciel. Outre cette équation, Airy a laissé
son nom à des fonctions dites « spéciales » liées aux fonctions de Bessel.