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Séries entières et équations différentielles
Si a0 ne s'annule pas sur I alors, après division par ao, résoudre l'équation (6)
sur I revient à résoudre l'équation différentielle dite « normalisée » suivante :
y< P l(x) + a1 (x) y< p - l ) (x) + ... + Œp - l (x) y' (x) + ap(x) y(x) = f3(x) (7)
où /3 = b/ao et ai= aif ao pour tout i E {1, ... ,p}.
Les conditions d'existence et d'unicité d'une solution à l'équation (7) sont données par le théorème suivant que nous admettrons.
THÉORÈME 5.10 (Théorème de Cauchy)
Soient I un intervalle de lR et pour p E N* fixé b, a1, ... , a p des applications
de I dans lR continues. Quels que soient x0 E I et (î'o , ... , ')' p - 1 ) E JRP,
l'équation différentielle
admet une unique solution y de I dans lR vérifiant les conditions
y(xo) = ')' o, y'(xo) = ')' 1, ... '
La plupart des résultats concernant les équations différentielles d'ordre 1 et 2
s'étendent aux cas des équations différentielles linéaires d'ordre p quelconque.
En particulier, on appelle équation homogène associée à l'équation différentielle (7) l'équation
y< P l(x) + a1(x) y< p - l ) (x) + ... + ap_1 (x) y'(x) + ap(x) y(x) = O. (8)
Les solutions de l'équation homogène (8) forment un sous-espace vectoriel de dimension p de l'espace vectoriel des applications continues de I dans R De plus,
on obtient les solutions de l'équation différentielle (7) en sommant à l'expression générale des solutions de l'équation homogène (8) une solution particulière
de l'équation (7).
Dans le cas d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 homogène, nous avons
vu dans le cours de première année qu'il existe une méthodologie générale pour
la résoudre. n n'en existe pas pour résoudre une équation différentielle linéaire
d'ordre p � 2 si les fonctions a1, ... , ap ne sont pas toutes constantes. Nous
allons voir qu'il est toutefois possible dans certains cas de trouver une base de
l'espace des solutions de l'équation homogène (8) formée par des fonctions qui
sont sommes de séries entières. Cette approche est basée sur le résultat suivant
que nous admettrons.
PROPOSITION 5.11 Si les fo nctions réelles de la variable réelle a1, ... , an
et f3 sont développables en série entière dans un voisinage de l'origine, alors
toutes les solutions de l'équation différentielle linéaire d'ordre p
sont développables en série entière dans un voisinage de l'origine.
Séries entières et équations différentielles
Si a0 ne s'annule pas sur I alors, après division par ao, résoudre l'équation (6)
sur I revient à résoudre l'équation différentielle dite « normalisée » suivante :
y< P l(x) + a1 (x) y< p - l ) (x) + ... + Œp - l (x) y' (x) + ap(x) y(x) = f3(x) (7)
où /3 = b/ao et ai= aif ao pour tout i E {1, ... ,p}.
Les conditions d'existence et d'unicité d'une solution à l'équation (7) sont données par le théorème suivant que nous admettrons.
THÉORÈME 5.10 (Théorème de Cauchy)
Soient I un intervalle de lR et pour p E N* fixé b, a1, ... , a p des applications
de I dans lR continues. Quels que soient x0 E I et (î'o , ... , ')' p - 1 ) E JRP,
l'équation différentielle
admet une unique solution y de I dans lR vérifiant les conditions
y(xo) = ')' o, y'(xo) = ')' 1, ... '
La plupart des résultats concernant les équations différentielles d'ordre 1 et 2
s'étendent aux cas des équations différentielles linéaires d'ordre p quelconque.
En particulier, on appelle équation homogène associée à l'équation différentielle (7) l'équation
y< P l(x) + a1(x) y< p - l ) (x) + ... + ap_1 (x) y'(x) + ap(x) y(x) = O. (8)
Les solutions de l'équation homogène (8) forment un sous-espace vectoriel de dimension p de l'espace vectoriel des applications continues de I dans R De plus,
on obtient les solutions de l'équation différentielle (7) en sommant à l'expression générale des solutions de l'équation homogène (8) une solution particulière
de l'équation (7).
Dans le cas d'une équation différentielle linéaire d'ordre 1 homogène, nous avons
vu dans le cours de première année qu'il existe une méthodologie générale pour
la résoudre. n n'en existe pas pour résoudre une équation différentielle linéaire
d'ordre p � 2 si les fonctions a1, ... , ap ne sont pas toutes constantes. Nous
allons voir qu'il est toutefois possible dans certains cas de trouver une base de
l'espace des solutions de l'équation homogène (8) formée par des fonctions qui
sont sommes de séries entières. Cette approche est basée sur le résultat suivant
que nous admettrons.
PROPOSITION 5.11 Si les fo nctions réelles de la variable réelle a1, ... , an
et f3 sont développables en série entière dans un voisinage de l'origine, alors
toutes les solutions de l'équation différentielle linéaire d'ordre p
sont développables en série entière dans un voisinage de l'origine.