Séries entières
271
arctan(x)
� (-1 r x 2 n+i
L.,, 2n + 1
XE ] - 1, 1[
argth(x)
n=O
+oo
L
__ l_ x 2 n+ l
n=O 2n + 1
XE] -1, 1[
Exercice 5.8 En utilisant le développement en série entière dans un voisinage de l'origine des fonctions x 1--> (1 + x)" et x 1--> (1 - x)", déterminer
ceux des fonctions arc-sinus, arc-cosinus, argument sinus hyperbolique et
argument cosinus hyperbolique.
5.4 Séries entières et équations différentielles
5.4.1 Résolution d'une équation différentielle à l'aide de séries entières
Nous avons vu dans le Cours de première année < 2 a > des méthodes de résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre et d'une équation
différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. Il n'existe pas
de méthode générale pour
· résoudre une équation différentielle linéaire à coefficients non constants d'ordre supérieur ou égal à 2. Dans certains cas, il est
toutefois possible de rechercher des solutions d'une telle équation sous forme
de séries entières et c'est cette problématique que nous allons considérer dans
cette partie.
Commençons par quelques compléments concernant les équations différentielles
linéaires. Une équation différentielle linéaire d'ordre p (où p E N*) est une
équation de la forme
ao(x)y( P) (x) + a1 (x) y ( p - l ) (x) + ... + ap - i (x) y'(x) + ap(x) y(x) = b(x) (6)
où b et ai, i E { 0, . . . , p } désignent des applications définies sur un même intervalle I de lR tel que a0 ne soit pas identiquement nul et y est une fonction
réelle de la variables réelle inconnue.
Résoudre l'équation (6) sur un intervalle I de lR consiste à déterminer les applications y de I dans lR de classe CP sur I et qui vérifient pour tout x E I la
relation
ao(x)y( P) (x) + a1 (x) y ( p - l ) (x) + . .. + ap - 1 (x) y'(x) + ap(x) y(x) = b(x).
( 2 8 ) •
"'
Voir le chap. 20 du Cours de prem1ere année.
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arctan(x)
� (-1 r x 2 n+i
L.,, 2n + 1
XE ] - 1, 1[
argth(x)
n=O
+oo
L
__ l_ x 2 n+ l
n=O 2n + 1
XE] -1, 1[
Exercice 5.8 En utilisant le développement en série entière dans un voisinage de l'origine des fonctions x 1--> (1 + x)" et x 1--> (1 - x)", déterminer
ceux des fonctions arc-sinus, arc-cosinus, argument sinus hyperbolique et
argument cosinus hyperbolique.
5.4 Séries entières et équations différentielles
5.4.1 Résolution d'une équation différentielle à l'aide de séries entières
Nous avons vu dans le Cours de première année < 2 a > des méthodes de résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre et d'une équation
différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants. Il n'existe pas
de méthode générale pour
· résoudre une équation différentielle linéaire à coefficients non constants d'ordre supérieur ou égal à 2. Dans certains cas, il est
toutefois possible de rechercher des solutions d'une telle équation sous forme
de séries entières et c'est cette problématique que nous allons considérer dans
cette partie.
Commençons par quelques compléments concernant les équations différentielles
linéaires. Une équation différentielle linéaire d'ordre p (où p E N*) est une
équation de la forme
ao(x)y( P) (x) + a1 (x) y ( p - l ) (x) + ... + ap - i (x) y'(x) + ap(x) y(x) = b(x) (6)
où b et ai, i E { 0, . . . , p } désignent des applications définies sur un même intervalle I de lR tel que a0 ne soit pas identiquement nul et y est une fonction
réelle de la variables réelle inconnue.
Résoudre l'équation (6) sur un intervalle I de lR consiste à déterminer les applications y de I dans lR de classe CP sur I et qui vérifient pour tout x E I la
relation
ao(x)y( P) (x) + a1 (x) y ( p - l ) (x) + . .. + ap - 1 (x) y'(x) + ap(x) y(x) = b(x).
( 2 8 ) •
"'
Voir le chap. 20 du Cours de prem1ere année.