Séries entières
279
On peut montrer que si v E rnt + \ N alors les deux fonctions J,, et J_,, sont
linéairement indépendantes et par conséquent que { J,,, J _,,} est une base de
l'espace vectoriel (de dimension deux) des solutions de l'équation de Bessel
d'ordre v. Autrement dit, si v n'est pas un entier naturel, les solutions de
l'équation de Bessel d'ordre v sont toutes les fonctions de la forme :
x ER� i--- -- -+ C 1 J,,(x) + C 2 J_,,(x),
où C 1 et C 2 désignent deux réels quelconques. Par contre, si v est un entier
naturel, {J,,, J_,,} ne forme plus une base de l'espace vectoriel des solutions
car on montre que dans ce cas J_,,(x) = (-1)" J,,(x) pour tout x E rnt+.
Dans le cas où v = ! , il est possible d'exprimer J ! à l'aide des fonctions
usuelles. Pour tout x E rnt+, on a
Ji(x)
2
et
- a x 1
x 2k
( +oo
(- l) k
)
-
o
Vx
+ {; 2 2k k! (1+!) (2+!) .. · (k+!)
2 2k k! (1 + !) (2 + !) .. · (k + !) = 2 k k! (3 X 5 X .. · X (2k + 1)) = (2k + 1)! .
On en déduit que
Ji (x)
2
ao
-
2k+1 _ ao .
( +oo ( l) k )
Vx
x + {; (2k + 1)!
x
-
Vx
sm(x).
L'exercice 5.10 est consacré à une étude détaillée de l'équation de Bessel d'indice O.
5.4.3 Équations diff érentielles et développement en série entière
Nous avons vu dans la partie précédente comment résoudre certaines équations
différentielles en essayant d'obtenir une représentation des solutions sous forme
de série entière.
Cette méthode peut également être utilisée pour obtenir le développement en
série entière d'une fonction f donnée. Pour cela, on procède de la manière
suivante. On considère une équation différentielle dont f est l'unique solution
pour des conditions initiales données. On recherche les solutions de l'équation
différentielle développables en série entière. Si une de ces séries entières vérifie les conditions initiales, alors par unicité de la solution elle correspond au
développement en série entière de f.
Utilisons cette approche pour obtenir le développement en série entière de l'application f: x E] - 1, +00[1--+ (1 + x)°' où a ER Cette application est l'unique
solution de l'équation différentielle linéaire du premier ordre ca6 >
(1 + x)y ' (x) - ay(x) = 0 'Vx E] - 1, +oo [
(15)
ca s ) Voir le chap. 20 du Cours de première année pour l'étude de ce type d'équations différentielles.
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On peut montrer que si v E rnt + \ N alors les deux fonctions J,, et J_,, sont
linéairement indépendantes et par conséquent que { J,,, J _,,} est une base de
l'espace vectoriel (de dimension deux) des solutions de l'équation de Bessel
d'ordre v. Autrement dit, si v n'est pas un entier naturel, les solutions de
l'équation de Bessel d'ordre v sont toutes les fonctions de la forme :
x ER� i--- -- -+ C 1 J,,(x) + C 2 J_,,(x),
où C 1 et C 2 désignent deux réels quelconques. Par contre, si v est un entier
naturel, {J,,, J_,,} ne forme plus une base de l'espace vectoriel des solutions
car on montre que dans ce cas J_,,(x) = (-1)" J,,(x) pour tout x E rnt+.
Dans le cas où v = ! , il est possible d'exprimer J ! à l'aide des fonctions
usuelles. Pour tout x E rnt+, on a
Ji(x)
2
et
- a x 1
x 2k
( +oo
(- l) k
)
-
o
Vx
+ {; 2 2k k! (1+!) (2+!) .. · (k+!)
2 2k k! (1 + !) (2 + !) .. · (k + !) = 2 k k! (3 X 5 X .. · X (2k + 1)) = (2k + 1)! .
On en déduit que
Ji (x)
2
ao
-
2k+1 _ ao .
( +oo ( l) k )
Vx
x + {; (2k + 1)!
x
-
Vx
sm(x).
L'exercice 5.10 est consacré à une étude détaillée de l'équation de Bessel d'indice O.
5.4.3 Équations diff érentielles et développement en série entière
Nous avons vu dans la partie précédente comment résoudre certaines équations
différentielles en essayant d'obtenir une représentation des solutions sous forme
de série entière.
Cette méthode peut également être utilisée pour obtenir le développement en
série entière d'une fonction f donnée. Pour cela, on procède de la manière
suivante. On considère une équation différentielle dont f est l'unique solution
pour des conditions initiales données. On recherche les solutions de l'équation
différentielle développables en série entière. Si une de ces séries entières vérifie les conditions initiales, alors par unicité de la solution elle correspond au
développement en série entière de f.
Utilisons cette approche pour obtenir le développement en série entière de l'application f: x E] - 1, +00[1--+ (1 + x)°' où a ER Cette application est l'unique
solution de l'équation différentielle linéaire du premier ordre ca6 >
(1 + x)y ' (x) - ay(x) = 0 'Vx E] - 1, +oo [
(15)
ca s ) Voir le chap. 20 du Cours de première année pour l'étude de ce type d'équations différentielles.