Séries entières
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la relation 2x + 3y = n. On en déduit que :
n
Cn = L a k bn - k = L a 2 x b 3 y = L 1 = Card{ (x, y) E N 2 ; 2x+3y = n } .
k=O
(x .11)EN 2
(x,y)EN 2
2x+3y=n
2a:+3y=n
Le nombre de possibilités de répartition entre x bouteilles à 2 euros et y gâteaux
à 3 euros pour utiliser exactement le budget de 100 euros est donc égal à c100•
Il nous reste à déterminer la valeur de ce coefficient.
La série entière L n Cn X n étant le produit des deux séries entières L n x 2 n et
Ln x 3 n de sommes respectives : x E] - 1, l[f-+ 1 _! x 2 et 'ljJ: x E] - 1, l[f-+ 1_!x3 ,
on a pour tout x E] - 1, 1[
+oo
1
1
1
� Cn X n = 1 - x 2 X 1 - x3
= (1 - x)2 (1 + x)(x2 + x+1) "
La fraction rationnelle apparaissant dans le membre de droite admet pour décomposition en éléments simples dans IR(X) :
1
1
1
1
1
(1 - X 2 )(1 - X3)
= 6(X - 1) 2 - 4(X - 1) + 4(X + 1) + 3(X 2 + X + 1)
Or, pour tout x E] - 1, 1[ on a
1
+oo
(x -1) 2
= �(n+ l )x n ,
et, on a établi p. 259 que
1
+oo
2
2
= L 10 sin (�(n + l)7r) x n .
X +x+ 1 n=O y 3
On en déduit que, pour tout x E] - 1, 1(,
et par conséquent que
Cn = � (n + 1) + � + (- l ) n
+
2
/ 6
4
4
3v 3
On obtient finalement : c10o =
101 + � +
2
/ 6 2 3v 3
Signalons que ce calcul pouvait être également effectué en ayant reco � rs à
MAPLE.
> P:=convert(series(1/((1-x-2) *(1-x- 3) ) ,x,101) ,polynom) :
> coeff(P,x,100);
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