268
Série entière de la variable réelle
On a donc,
r t ln(t) dt
}0 t - 1
+CXJ
+CXJ
1
( )
"""" "" 1
n+ 2 """" "" 1
n+ 2
n x f='o n + 2
x
- f='o (n + 2) 2
x
+CXJ 1
+CXJ 1
= ln(x) """" "" - x n - """" "" - x n
� n
� n 2
n= 2
n= 2
+ CXJ 1
-ln(x)(x + ln( l - x)) + 1 - L 2 x n .
n
n=l
Notons que la série de fonctions L n � I � x n converge normalement sur )0, 1[
car sup xE]O , l [ / � x n / = � et la série de Riemann L n � I � converge. Cette série
de fonctions converge donc uniformément sur JO, 1[ et il résulte du corollaire 3.2
p. 135 que
+oo 1
+oo 1
2
lim """" "" - xn = """" "" - = �.
x-+I - � n 2
� n 2 6
n=l
n=l
Comme par ailleurs lim x-+ 1 - ln(x)(x + ln( l - x)) = 0, on en déduit que
r l tln(t) dt = lim r tln(t) dt = 1- 71' 2
.
l o t-1
x-+I- Jo t-1
6
Séries entières et dénombrement
Le BDE de l'école est confronté à la situation suivante : il dispose d'un budget de
100 euros pour organiser une fête et doit pour cela prévoir d'acheter x bouteilles
d'une boisson X au coût unitaire de 2 euros et y gâteaux de la marque Y
au coût unitaire de 3 euros. L'organisateur de la soirée charge les étudiants
ASINSA de déterminer le nombre de possibilités de répartition existant entre
les x bouteilles et les y gâteaux pour utiliser exactement le budget alloué (par
exemple 50X + OY et 2X + 32Y sont deux possibilités d'utiliser exactement le
budget de 100 euros) .
Il s'agit donc de déterminer tous les couples d'entiers naturels (x, y) tels que
2x + 3y = 100. Nous allons voir qu'une utilisation astucieuse des séries entières
va permettre de répondre à la question.
Considérons les deux séries entières lacunaires L n x 2 n et L n x 3 n de rayon
de convergence I. Le produit de ces deux séries entières est une série entière
L n Cn X n de rayon de convergence R � 1 dont les coefficients sont donnés par
la relation Cn = L� =O a k bn - k où (an)n et (bn)n désignent respectivement les
coefficients des séries entières lacunaires L n x 2 n et L n x 3 n . On a d'une part
an = 1 si n est un entier pair et an = 0 si n est un entier impair et d'autre
part bn = 1 si n est multiple de 3 et 0 sinon. On en déduit que a k bn - k = 1 si
k est multiple de 2 et n -· k est multiple de 3, autrement dit, a k bn - k = 1 s'il
existe (x, y) E N 2 tel que k = 2x et n - k = 3y. Dans tous les autres cas, on a
a k bn - k =O. Éliminant k des deux équations k = 2x et n - k = 3y, on obtient
Série entière de la variable réelle
On a donc,
r t ln(t) dt
}0 t - 1
+CXJ
+CXJ
1
( )
"""" "" 1
n+ 2 """" "" 1
n+ 2
n x f='o n + 2
x
- f='o (n + 2) 2
x
+CXJ 1
+CXJ 1
= ln(x) """" "" - x n - """" "" - x n
� n
� n 2
n= 2
n= 2
+ CXJ 1
-ln(x)(x + ln( l - x)) + 1 - L 2 x n .
n
n=l
Notons que la série de fonctions L n � I � x n converge normalement sur )0, 1[
car sup xE]O , l [ / � x n / = � et la série de Riemann L n � I � converge. Cette série
de fonctions converge donc uniformément sur JO, 1[ et il résulte du corollaire 3.2
p. 135 que
+oo 1
+oo 1
2
lim """" "" - xn = """" "" - = �.
x-+I - � n 2
� n 2 6
n=l
n=l
Comme par ailleurs lim x-+ 1 - ln(x)(x + ln( l - x)) = 0, on en déduit que
r l tln(t) dt = lim r tln(t) dt = 1- 71' 2
.
l o t-1
x-+I- Jo t-1
6
Séries entières et dénombrement
Le BDE de l'école est confronté à la situation suivante : il dispose d'un budget de
100 euros pour organiser une fête et doit pour cela prévoir d'acheter x bouteilles
d'une boisson X au coût unitaire de 2 euros et y gâteaux de la marque Y
au coût unitaire de 3 euros. L'organisateur de la soirée charge les étudiants
ASINSA de déterminer le nombre de possibilités de répartition existant entre
les x bouteilles et les y gâteaux pour utiliser exactement le budget alloué (par
exemple 50X + OY et 2X + 32Y sont deux possibilités d'utiliser exactement le
budget de 100 euros) .
Il s'agit donc de déterminer tous les couples d'entiers naturels (x, y) tels que
2x + 3y = 100. Nous allons voir qu'une utilisation astucieuse des séries entières
va permettre de répondre à la question.
Considérons les deux séries entières lacunaires L n x 2 n et L n x 3 n de rayon
de convergence I. Le produit de ces deux séries entières est une série entière
L n Cn X n de rayon de convergence R � 1 dont les coefficients sont donnés par
la relation Cn = L� =O a k bn - k où (an)n et (bn)n désignent respectivement les
coefficients des séries entières lacunaires L n x 2 n et L n x 3 n . On a d'une part
an = 1 si n est un entier pair et an = 0 si n est un entier impair et d'autre
part bn = 1 si n est multiple de 3 et 0 sinon. On en déduit que a k bn - k = 1 si
k est multiple de 2 et n -· k est multiple de 3, autrement dit, a k bn - k = 1 s'il
existe (x, y) E N 2 tel que k = 2x et n - k = 3y. Dans tous les autres cas, on a
a k bn - k =O. Éliminant k des deux équations k = 2x et n - k = 3y, on obtient