Séries entières
267
Exemples
1. La fonction sinus est de classe C00 sur � et pour tout n E N, la dérivée
n-ième de sinus en x E � est donnée par <2 6 > sin ( n ) (x) = sin(x + "271" ). On a donc
\:/n E N \:/x E � 1 sin ( n ) (x) I :( 1.
D'après le théorème 5.9, la fonction sinus est développable en série entière dans
un voisinage de l'origine et
'Vx E �
+oo . ( n ) (O)
+oo ( l ) k
. ( )
_
� Sll1
n
_
�
- 2 k+l
Sll1 X - L 1 X - L (2k )
1 X
n.
+ 1 .
n=O
k=O
2. La fonction cosinus est de classe C00 sur � et pour tout n E N la dérivée
n-ième de sinus en x E � est donnée par <2 6 > cosC n l (x) = cos(x + n
2 71"). On a donc
D'après le théorème 5.9, la fonction cosinus est développable en série entière
dans un voisinage de l'origine et
'Vx E �
+oo ( n ) (0)
+oo ( l) k
( )
_
�
COS
n _ � _ - _ 2 k
cos x - L n! x - L (2k)! x
n=O
k=O
5.3.3 Quelques utilisations des séries entières de la variable réelle
Séries entières et calcul d'intégrale
Intéressons-nous au calcul de l'intégrale J 0
1 t :�g) dt dont la valeur ne peut être
calculée à l'aide des méthodes vues dans le Cours de première année < 2 1 > .
Remarquons tout d'abord que cette intégrale généralisée converge puisque
lim t -o+ t :�c:i = 0 et que lim t -i -
t :�<:) = 1. Par ailleurs, pour tout t E]- 1, 1[
on a l � t = 2:�:0 t n et le rayon de convergence de la série entière l: n x n est 1.
On déduit de la proposition 5.9 que pour tout x E]O, 1[, on a
r t l (t)
r +oo
+oo r
J o t � l dt = J o L ln(t) t n+l dt = L J o
ln(t) t n+l dt.
0
0 n=O
n=O 0
En intégrant par parties, on obtient :
r ln(t) t n+l dt = - 1 - x n+ 2 (1n(x) - - 1 - ) .
la
n+2
n+2
( 2 6 ) •
•
Voir le Cours de première année p. 726.
( 2 7) Voir le chap. 18 du Cours de première année .