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Série entière de la variable réelle
Cette relation indique que f (x) = Sn (x) + Rn (x) où Sn (x) = I:;;= O J
est la somme partielle d'ordre n de la série de Mac-Laurin Ln
-
11 - ,
- x" et
R (x) = 1< n+ii(ex) x11 + 1 correspond à un reste d'ordre n
n
( n+l
)
!
·
Il est clair que si pour tout x E] -r, r[, R11 (x) tend vers 0 quand n tend vers +oo
alors Sn (x) tend vers f(x) et cela signifie que la série de Mac-Laurin associée
à f est convergente sur ] - r, r[ et de somme f. Inversement, si la série de
Mac-Laurin associée à f est convergente sur J - r, r[ alors pour tout x E] -r, r[,
la quantité Rn (x) = f (x) - S11 (x) tend vers 0 quand n tend vers +oo. On
en déduit qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction f de
classe C00 sur un intervalle ] - r, r[ soit somme de sa série de Mac-Laurin sur
] - r, r[ est que pour tout x E] - r, r[ la quantité Rn (x) tende vers 0 quand n
tend vers +oo.
D'un point de vue pratique, vérifier que pour tout x E] -r, r[ la quantité Rn(x)
tend vers 0 quand n tend vers +oo peut se révéler ardu, en particulier en raison
du fait que e est généralement difficile à déterminer. Le résultat suivant qui se
contente de donner une condition suffisante pour qu'une fonction réelle de la
variable réelle soit développable en série entière dans un voisinage de l'origine
est d'une utilisation plus aisée.
THÉORÈME 5.9 Soient r un réel strictement positif et f une application de
] - r, r[ dans IR de classe C00• Si f a toutes ses dérivées uniformément bornées
sur ] - r, r[, i.e. si
alors f est développable en série entière dans un voisinage de l'origine et cette
série entière est ég ale à la série de Mac-Laurin.
Démonstration Sous l'hypothèse
on a, pour tout x E] - r, r[,
I R (x) / = /j(
n+l
) ( O x) /
/ x /
n+l :;::: :: }ilf
/ 1
n+l
n
(n + 1)!
"'
(n + 1)!
r
·
En utilisant le théorème d'encadrement, on en déduit que limn-. + oo Rn(x) = 0
pour tout x E] -r, r[. Or, on a vu qu'une condition nécessaire et suffisante pour
qu'une fonction f de classe C00 sur un intervalle ] - r, r[ soit somme de sa série
de Mac-Laurin sur ] -r, r[, et par conséquent développable en série entière dans
un voisinage de l'origine, est que pour tout x E] - r, r[ la quantité Rn(x) tende
vers 0 quand n tend vers +oo.
0
Série entière de la variable réelle
Cette relation indique que f (x) = Sn (x) + Rn (x) où Sn (x) = I:;;= O J
est la somme partielle d'ordre n de la série de Mac-Laurin Ln
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11 - ,
- x" et
R (x) = 1< n+ii(ex) x11 + 1 correspond à un reste d'ordre n
n
( n+l
)
!
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Il est clair que si pour tout x E] -r, r[, R11 (x) tend vers 0 quand n tend vers +oo
alors Sn (x) tend vers f(x) et cela signifie que la série de Mac-Laurin associée
à f est convergente sur ] - r, r[ et de somme f. Inversement, si la série de
Mac-Laurin associée à f est convergente sur J - r, r[ alors pour tout x E] -r, r[,
la quantité Rn (x) = f (x) - S11 (x) tend vers 0 quand n tend vers +oo. On
en déduit qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction f de
classe C00 sur un intervalle ] - r, r[ soit somme de sa série de Mac-Laurin sur
] - r, r[ est que pour tout x E] - r, r[ la quantité Rn (x) tende vers 0 quand n
tend vers +oo.
D'un point de vue pratique, vérifier que pour tout x E] -r, r[ la quantité Rn(x)
tend vers 0 quand n tend vers +oo peut se révéler ardu, en particulier en raison
du fait que e est généralement difficile à déterminer. Le résultat suivant qui se
contente de donner une condition suffisante pour qu'une fonction réelle de la
variable réelle soit développable en série entière dans un voisinage de l'origine
est d'une utilisation plus aisée.
THÉORÈME 5.9 Soient r un réel strictement positif et f une application de
] - r, r[ dans IR de classe C00• Si f a toutes ses dérivées uniformément bornées
sur ] - r, r[, i.e. si
alors f est développable en série entière dans un voisinage de l'origine et cette
série entière est ég ale à la série de Mac-Laurin.
Démonstration Sous l'hypothèse
on a, pour tout x E] - r, r[,
I R (x) / = /j(
n+l
) ( O x) /
/ x /
n+l :;::: :: }ilf
/ 1
n+l
n
(n + 1)!
"'
(n + 1)!
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En utilisant le théorème d'encadrement, on en déduit que limn-. + oo Rn(x) = 0
pour tout x E] -r, r[. Or, on a vu qu'une condition nécessaire et suffisante pour
qu'une fonction f de classe C00 sur un intervalle ] - r, r[ soit somme de sa série
de Mac-Laurin sur ] -r, r[, et par conséquent développable en série entière dans
un voisinage de l'origine, est que pour tout x E] - r, r[ la quantité Rn(x) tende
vers 0 quand n tend vers +oo.
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