Séries entières
265
PROPOSITION 5.10 (Série de Mac-Laurin)
Soit f une fo nction réelle de la variable réelle développable en série entière
dans un voisinage de l'origine. Il existe un réel r strictement positif tel que f
est de classe C00 sur l - r, r[ et
\:/x E] -r,r[
La série entière réelle I: n � f( n ) (0) x n est appelée série de Mac-Laurin de f.
On déduit de la proposition 5.10 le corollaire suivant qui indique que si une
fonction est développable en série entière dans un voisinage de l'origine alors
ce développement est celui donné par la série de Mac-Laurin.
COROLLAIRE 5.5 Soit f une fo nction réelle de la variable réelle définie dans
un voisinage de l'origine. Si f est développable en série entière dans un voisinage de l'origine alors ce développement est unique et est donné par la série
de Mac-Laurin.
Remarque La proposition 5.10 indique que toute fonction.réelle de la variable
réelle développable en série entière sur un intervalle ] - r, r[, où r E IR'.f_, est de
classe C00 sur cet intervalle. Mais la réciproque est fausse : il existe des fonctions
de classe C00 sur un voisinage de l'origine qui ne sont pas développables en série
entière �ans un voisinage de l'origine. C'est le cas par exemple de l'application f
définie sur lR par f(x) = exp(-1/x2) si x =/. 0 et f(O) =O. Cette application est
de classe C00 sur lR et pour tout n EN on a f( n ) (O) =O. La série de Mac-Laurin
de f est donc la série nulle mais il n'existe aucun voisinage de 0 sur lequel f
coïncide avec la fonction nulle.
<>
Étant donné une application f de classe C00 sur un intervalle ] - r, r[ avec
r E IR'.f-, on peut également se poser la question de savoir à quelle condition
il existe une série entière dont elle soit la somme. D'après le corollaire 5.5, si
une telle série existe, elle est nécessairement unique et est égale à la série de
Mac-Laurin. Le problème est de savoir si la série de Mac-Laurin a un rayon de
convergence non nul et, le cas échéant, si sa somme est bien égale à f sur un
voisinage de l'origine.
Considérons une application f de classe C00 sur un intervalle ] - r, r[ et appliquons la formule de Taylor-Mac-Laurin
<25>
à l'ordre n entre 0 et x pour
x E] - r, r[ ; il existe () E]O, l[ tel que :
- � J ( k ) (O) k J ( n+l ) (Bx) n+l
f(x)
- L., k! x + ( n + l)! x .
k=O
(2�)
•
••
Voir le Cours de prem1ere an née p. 753.
265
PROPOSITION 5.10 (Série de Mac-Laurin)
Soit f une fo nction réelle de la variable réelle développable en série entière
dans un voisinage de l'origine. Il existe un réel r strictement positif tel que f
est de classe C00 sur l - r, r[ et
\:/x E] -r,r[
La série entière réelle I: n � f( n ) (0) x n est appelée série de Mac-Laurin de f.
On déduit de la proposition 5.10 le corollaire suivant qui indique que si une
fonction est développable en série entière dans un voisinage de l'origine alors
ce développement est celui donné par la série de Mac-Laurin.
COROLLAIRE 5.5 Soit f une fo nction réelle de la variable réelle définie dans
un voisinage de l'origine. Si f est développable en série entière dans un voisinage de l'origine alors ce développement est unique et est donné par la série
de Mac-Laurin.
Remarque La proposition 5.10 indique que toute fonction.réelle de la variable
réelle développable en série entière sur un intervalle ] - r, r[, où r E IR'.f_, est de
classe C00 sur cet intervalle. Mais la réciproque est fausse : il existe des fonctions
de classe C00 sur un voisinage de l'origine qui ne sont pas développables en série
entière �ans un voisinage de l'origine. C'est le cas par exemple de l'application f
définie sur lR par f(x) = exp(-1/x2) si x =/. 0 et f(O) =O. Cette application est
de classe C00 sur lR et pour tout n EN on a f( n ) (O) =O. La série de Mac-Laurin
de f est donc la série nulle mais il n'existe aucun voisinage de 0 sur lequel f
coïncide avec la fonction nulle.
<>
Étant donné une application f de classe C00 sur un intervalle ] - r, r[ avec
r E IR'.f-, on peut également se poser la question de savoir à quelle condition
il existe une série entière dont elle soit la somme. D'après le corollaire 5.5, si
une telle série existe, elle est nécessairement unique et est égale à la série de
Mac-Laurin. Le problème est de savoir si la série de Mac-Laurin a un rayon de
convergence non nul et, le cas échéant, si sa somme est bien égale à f sur un
voisinage de l'origine.
Considérons une application f de classe C00 sur un intervalle ] - r, r[ et appliquons la formule de Taylor-Mac-Laurin
<25>
à l'ordre n entre 0 et x pour
x E] - r, r[ ; il existe () E]O, l[ tel que :
- � J ( k ) (O) k J ( n+l ) (Bx) n+l
f(x)
- L., k! x + ( n + l)! x .
k=O
(2�)
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Voir le Cours de prem1ere an née p. 753.