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Série entière de la variable réelle
5.3.2 Développement en série entière d'une fonction de la variable réelle
A l'instar de ce qui a été fait avec les fonctions de la variable complexe, on peut
se demander si une fonction de la variable réelle définie dans un voisinage de
l'origine est la somme d'une série entière de la variable réelle. Le théorème 5.6
indique que toute fonction de la variable complexe holomorphe dans un voisinage de l'origine est développable en série entière dans un voisinage de l'origine.
Nous allons voir que dans le cas des fonctions de la variable réelle, une fonction dérivable (et même de classe C00) dans un voisinage de l'origine n'est pas
nécessairement développable en série entière.
DÉFINITION 5.8 Une fo nction réelle de la variable réelle f définie dans un
voisinage de l'origine est dite développable en série entière dans un voisinage
de l'origine s'il existe une série entière réelle de rayon de convergence R non
nul et un réel r E JO, R[ tel que
+oo
Vx E] -r,r( f(x) = 2::: anx n .
n=O
Exemples
1. Une fonction polynomiale réelle fi : x t---t l::: : � =O Cn X n de degré d est développable en série entière dans un voisinage de l'origine car pour tout x E IR on a
fi (x) = 2::: : �:0 anx n où les coefficients (an)n sont définis par an = Cn pour tout
n E {O, ... ,d} et an = 0 sinon.
2. La fonction h : x t---t (1 - x) - 1 est développable en série entière dans un
voisinage de l'origine car pour tout x E] -1, 1( on a f2(x) = 2::: : �:0 x n , voir p. 3.
3. La fonction f3 : x t---t (1 - x 2 ) - 1 est développable en série entière dans un
voisinage de l'origine car, par substitution de x en x 2 dans l'expression de h(x) ,
on obtient f3(x) = 2::: : �:0 x 2 n pour tout x E] -1, 1(.
4. La fonction exponentielle est développable en série entière dans un voisinage
de l'origine car pour tout réel x on a e x = 2::: : �:0 ;hx n , voir p. 3.
Comme dans le cas des fonctions complexes de la variable complexe, le résultat
suivant indique que si une fonction réelle de la variable réelle est développable
en série entière de la variable réelle dans un voisinage de l'origine alors, dans un
voisinage de l'origine, f est égale à sa série de Mac-Laurin. La démonstration
de ce résultat, qui reprend les idées développées dans celle du théorème 5.5, est
omise.
Série entière de la variable réelle
5.3.2 Développement en série entière d'une fonction de la variable réelle
A l'instar de ce qui a été fait avec les fonctions de la variable complexe, on peut
se demander si une fonction de la variable réelle définie dans un voisinage de
l'origine est la somme d'une série entière de la variable réelle. Le théorème 5.6
indique que toute fonction de la variable complexe holomorphe dans un voisinage de l'origine est développable en série entière dans un voisinage de l'origine.
Nous allons voir que dans le cas des fonctions de la variable réelle, une fonction dérivable (et même de classe C00) dans un voisinage de l'origine n'est pas
nécessairement développable en série entière.
DÉFINITION 5.8 Une fo nction réelle de la variable réelle f définie dans un
voisinage de l'origine est dite développable en série entière dans un voisinage
de l'origine s'il existe une série entière réelle de rayon de convergence R non
nul et un réel r E JO, R[ tel que
+oo
Vx E] -r,r( f(x) = 2::: anx n .
n=O
Exemples
1. Une fonction polynomiale réelle fi : x t---t l::: : � =O Cn X n de degré d est développable en série entière dans un voisinage de l'origine car pour tout x E IR on a
fi (x) = 2::: : �:0 anx n où les coefficients (an)n sont définis par an = Cn pour tout
n E {O, ... ,d} et an = 0 sinon.
2. La fonction h : x t---t (1 - x) - 1 est développable en série entière dans un
voisinage de l'origine car pour tout x E] -1, 1( on a f2(x) = 2::: : �:0 x n , voir p. 3.
3. La fonction f3 : x t---t (1 - x 2 ) - 1 est développable en série entière dans un
voisinage de l'origine car, par substitution de x en x 2 dans l'expression de h(x) ,
on obtient f3(x) = 2::: : �:0 x 2 n pour tout x E] -1, 1(.
4. La fonction exponentielle est développable en série entière dans un voisinage
de l'origine car pour tout réel x on a e x = 2::: : �:0 ;hx n , voir p. 3.
Comme dans le cas des fonctions complexes de la variable complexe, le résultat
suivant indique que si une fonction réelle de la variable réelle est développable
en série entière de la variable réelle dans un voisinage de l'origine alors, dans un
voisinage de l'origine, f est égale à sa série de Mac-Laurin. La démonstration
de ce résultat, qui reprend les idées développées dans celle du théorème 5.5, est
omise.