Séries entières
263
Pour x E] - R, O[, le résultat est obtenu de la même manière en prenant
a = x et /3 = O. Si x = 0, l'égalité a encore lieu car on a J�"' (t) dt = 0
"""' +oo .J!.u..._ n +l
_ 0
D
et Lm =O n +l X - ·
La série géométrique L n x n est une série entière de rayon R = 1 et de somme
: x t-t 1/(1 -x). On en déduit du corollaire 5.4 que la série entière L n ;;;, l �x n
a pour rayon de convergence 1 et que sa somme 1/J est donnée sur J - 1, 1 [ par :
·
l
x
1
'l/l(x) =
-
dt = - ln(l - x).
0 1-t
Du point de vue pratique, on peut présenter les calculs sous la forme suivante :
=
+oo 1
+oo {x
L -x n + l = L
J
o t n dt
n=O n + l
n= O O
l
x
1
dt =
-dt = - ln(l - x).
0 1 - t
On a donc la relation suivante :
'v'x E] -1, 1[
+oo 1
I: n x n = -1n(1 -x)
n=l
et par substitution de x en -x, on obtient la relation :
'v'x E] -1,1[
+oo ( l) n
2: -
-
- x n = -ln(l + x)
n=l n
De même, la série entière L n x2 n a pour rayon de converge 1 et pour somme
: x E] - 1, l[t-t 1 _! x ,. Il s'agit d'une série entière lacunaire dont les coefficients (a n ) n sont données par a n = 0 si n est impair et a n = 1 si n est pair.
Le corollaire 5.4 indique que la série entière L n ;;;, l
a :- 1 x n a pour rayon de
convergence 1 et que sa somme 1/J est donnée sur ] - 1, 1 [ par :
+oo
+oo 1
l
x
1
'l/J (x) = L � x n +l = I: -- x2 k +l = -- dt = argth(x).
n=O n + 1
k=O
2k + 1
0 1 - t2
On en déduit la relation :
'v'x E] -1, l[
+oo 1
"" -- x2 n +l = argth(x)
f:Q 2n + 1
Sur le même principe, la série entière L n ( -1 ) n x2 n a pour rayon de convergence 1 et pour somme : x E] -1, l[t-t 1_;x2. Le corollaire 5.4 permet d'obtenir
la relation :
'v'x E] -1,1[
+oo . ( l ) n
"" -- -- x2 n +l = arctan(x)
f:Q 2n + 1