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Série entière de la variable réelle
COROLLAIRE 5.3 Soit E n a n x n une série entière réelle de rayon de convergence R non nul et de somme . L'application est indéfiniment dérivable
sur ] - R, R[ et pour tout p E N* on a
+oo
1
(p) : x E] - R, R[� �
(n
:· p)
! a n x n - v .
On a également le résultat suivant qui concerne l'intégrabilité de la somme
d'une série entière réelle.
PROPOSITION 5.9 Soit E n a n x n une série entière réelle de rayon de convergence R non nul et de somme . Quels que soient les réels a: et /3 dans ]-R, R[
avec a: < /3, l'applicati9n est Riemann-intégrable sur [a:, /3] et
Démonstration Par hypothèse, la série de fonctions de terme général
f n : x 1-7 a n x n converge uniformément sur tout intervalle compact inclus dans
] - R, R[. Elle converge donc sur [a:, /3] pour tous a:, f3 E] - R, R[ avec a: < /3.
Par ailleurs, les fonctions polynomiales f n étant Riemann-intégrables sur tout
intervalle fermé et borné, il résulte du théorème 3.8 p. 136 que :
r{J
+oo
r{J
+oo
l a
(x) dx = L l a a n X n dx = L
n °;. 1
(
/J
n + l -
a: n +l ) .
"'
n=O "'
n=O
Le résultat est démontré.
D
On a le corollaire suivant qui permet de calculer la somme de certaines séries
entières.
COROLLAIRE 5.4 Soit E n a n x n une série entière réelle de rayon de convergence R non nul et de somme . La série E n;;, l
a n
n
-1 x n a pour rayon de
convergence R et
\:lx E] -R,R[
+oo
+oo
x
2: a n - 1
x n = '""' � x n +l = r ( t) dt.
n
.l...J n + 1
lo o
n=l
n=O
Démonstration On a établi à la proposition 5.2 que les séries E n n � l a n x n
et E n a n x n ont le même rayon de convergence. Pour x E]O, R[ fixé, appliquons
la proposition 5.9 avec a: = 0 et f3 = x, on a
x
+oo
+oo
r (t) dt= L � x n +l =X L � x n .
la
n=O n + l
n=O n + l