Séries entières
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Les résultats qui suivent donnent les propriétés de la somme d'une série entière
sur l'intervalle de convergence de la série. Ils découlent des résultats généraux
concernant la somme des séries de fonctions réelles de la variable réelle, voir le
chap. 3, et du fait que le terme général de la série, qui est un monôme, est de
classe C00 sur R
THÉORÈME 5.7 (Continuité d'une série entière réelle)
Soit l: n anx n une série entière réelle de rayon de convergence R non nul. Sa
somme c/> est une application continue sur l'intervalle ] - R, R[.
Démonstration Il n'est pas possible d'appliquer le théorème 3.7 p. 135 sur
l'intervalle ] -R, R[ car on ne peut pas être assuré de la convergence uniforme de
la série entière sur cet intervalle. Toutefois, pour tout r E JO, R[, on a convergence
uniforme de la série eritière sur ] -r, r[ et on peut donc appliquer le théorème 3. 7
sur cet intervalle.
Nous allons montrer que quel que soit le réel xo de l'intervalle ) - R, R[, la
somme de la série est continue en xo. Pour xo E) - R, R[ fixé, considérons le
réel r = l xol + � (R - lxol) ; on a xo E [-r, r] et r < R. Puisque la série entière
converge uniformément sur J - r, r[, d'après le théorème 3.7, sa somme cf> est
continue sur ] - r, r[ et par conséquent en x0. Le théorème est démontré. 0
Remarque En complément au théorème 5. 7, on a le résultat suivant : si la
série numérique l: n anR n converge alors l'application cf> est continue à gauche
en R et si la série numérique l: n an(-R) n converge alors l'application cf> est
continue à droite en -R.
o
THÉORÈME 5.8 (Dérivabilité d'une série entière réelle)
Soit l: n anx n une série entière réelle de rayon de convergence R non nul et
de somme cf>. L'application cf> est une application dérivable sur J - R, R[ et
pour tout x E] - R, R[ on a
+oo
+oo
c1>'(x) = z)n + 1) an +l x n
= L: nan x n - 1 .
n=O
n=l
Démonstration On procède comme dans la preuve du théorème 5. 7 : quel
que soit le réel x0 de l'intervalle J - R, R[, il existe un réel r E]O, R[ tel que
xo E] - r, r[. Puisque la série entière converge uniformément sur J - r, r[, on
peut appliquer le théorème 3.9 sur l'intervalle ] -r, r [. On obtient la dérivabilité
en xo de la somme cf> de la série entière et la relation cf>' ( xo) = l:�:i n an x0 - 1 .
Par ailleurs, en effectuant le changement d'indice n en n - l, on obtient l'égalité
entre les deux sommes indiquée dans le théorème..
0
Plus généralement, on a le résultat suivant qui découle du théorème 5.8 par
récurrence sur l'ordre de dérivation.
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Les résultats qui suivent donnent les propriétés de la somme d'une série entière
sur l'intervalle de convergence de la série. Ils découlent des résultats généraux
concernant la somme des séries de fonctions réelles de la variable réelle, voir le
chap. 3, et du fait que le terme général de la série, qui est un monôme, est de
classe C00 sur R
THÉORÈME 5.7 (Continuité d'une série entière réelle)
Soit l: n anx n une série entière réelle de rayon de convergence R non nul. Sa
somme c/> est une application continue sur l'intervalle ] - R, R[.
Démonstration Il n'est pas possible d'appliquer le théorème 3.7 p. 135 sur
l'intervalle ] -R, R[ car on ne peut pas être assuré de la convergence uniforme de
la série entière sur cet intervalle. Toutefois, pour tout r E JO, R[, on a convergence
uniforme de la série eritière sur ] -r, r[ et on peut donc appliquer le théorème 3. 7
sur cet intervalle.
Nous allons montrer que quel que soit le réel xo de l'intervalle ) - R, R[, la
somme de la série est continue en xo. Pour xo E) - R, R[ fixé, considérons le
réel r = l xol + � (R - lxol) ; on a xo E [-r, r] et r < R. Puisque la série entière
converge uniformément sur J - r, r[, d'après le théorème 3.7, sa somme cf> est
continue sur ] - r, r[ et par conséquent en x0. Le théorème est démontré. 0
Remarque En complément au théorème 5. 7, on a le résultat suivant : si la
série numérique l: n anR n converge alors l'application cf> est continue à gauche
en R et si la série numérique l: n an(-R) n converge alors l'application cf> est
continue à droite en -R.
o
THÉORÈME 5.8 (Dérivabilité d'une série entière réelle)
Soit l: n anx n une série entière réelle de rayon de convergence R non nul et
de somme cf>. L'application cf> est une application dérivable sur J - R, R[ et
pour tout x E] - R, R[ on a
+oo
+oo
c1>'(x) = z)n + 1) an +l x n
= L: nan x n - 1 .
n=O
n=l
Démonstration On procède comme dans la preuve du théorème 5. 7 : quel
que soit le réel x0 de l'intervalle J - R, R[, il existe un réel r E]O, R[ tel que
xo E] - r, r[. Puisque la série entière converge uniformément sur J - r, r[, on
peut appliquer le théorème 3.9 sur l'intervalle ] -r, r [. On obtient la dérivabilité
en xo de la somme cf> de la série entière et la relation cf>' ( xo) = l:�:i n an x0 - 1 .
Par ailleurs, en effectuant le changement d'indice n en n - l, on obtient l'égalité
entre les deux sommes indiquée dans le théorème..
0
Plus généralement, on a le résultat suivant qui découle du théorème 5.8 par
récurrence sur l'ordre de dérivation.