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Série entière de la variable réelle
La série entière obtenue est une série entière lacunaire puisque si n + 1 est un
multiple de 3 on a sin rn1f(n + 1) ) = o. On peut avoir recours à MAPLE pour
expliciter ses coefficients et comparer au résultat obtenu avec la commande
series de MAPLE.
> a:=n->(2/sqrt(3))*sin((2*P i*(n+1)/3)):
> seq(a(i), i=0 .. 12);
1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1
> convert(series(1/(1+x+x-2), x=0,13),polynom);
1 - x + x 3 - x 4 + x 6 - x 7 + x g - x 10 + x 1 2
Exercice 5. 7 Déterminer le développement en série entière dans un voisinage de l'origine de la fonction rationnelle z r--+ ( ) ; ( )
•
z - 1 z - 2
5.3 Série entière de la variable réelle
5.3.1 Propriétés des séries entières réelles
On appelle série entière de la variable réelle (ou série entière réelle) toute série
d'applications de IR dans IR de terme général f n : X E IR t-+ an x n où an E R
Pour tout n E N, le réel an est appelé coefficient d'ordre n de la série entière.
Une série entière de la variable réelle étant définie d'une manière analogue à
une série entière de la variable complexe, on peut introduire un cadre d'étude
similaire. En particulier le rayon de convergence d'une série entière réelle est
défini de la même manière que celui d'une série entière complexe, voir la définition 5.3. D'un point de vue pratique, le rayon de convergence d'une série
entière réelle peut lui aussi être calculé en ayant recours aux règles de Cauchy
ou de D'Alembert, voir les propositions 5.4 et 5.5. Par ailleurs, le rayon de
convergence d'une série entière réelle L n anx n est le même que celui de la série
entière complexe L n an z n à coefficients an réels.
Les différentes propriétés de convergence d'une série entière réelle de rayon de
convergence R non nul sont les suivantes :
- la série entière converge simplement et absolument sur ] - R, R[ ;
- la série entière diverge grossièrement sur J - oo, -R[ et sur ]R, +oo[;
- en R et en -R, la série entière peut selon les cas converger ou diverger ; une
étude spécifique est requise ;
- quel que soit le réel r avec 0 < r < R, la série entière converge normalement
et uniformément sur l'intervalle [-r, rj.
Série entière de la variable réelle
La série entière obtenue est une série entière lacunaire puisque si n + 1 est un
multiple de 3 on a sin rn1f(n + 1) ) = o. On peut avoir recours à MAPLE pour
expliciter ses coefficients et comparer au résultat obtenu avec la commande
series de MAPLE.
> a:=n->(2/sqrt(3))*sin((2*P i*(n+1)/3)):
> seq(a(i), i=0 .. 12);
1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1, -1, 0, 1
> convert(series(1/(1+x+x-2), x=0,13),polynom);
1 - x + x 3 - x 4 + x 6 - x 7 + x g - x 10 + x 1 2
Exercice 5. 7 Déterminer le développement en série entière dans un voisinage de l'origine de la fonction rationnelle z r--+ ( ) ; ( )
•
z - 1 z - 2
5.3 Série entière de la variable réelle
5.3.1 Propriétés des séries entières réelles
On appelle série entière de la variable réelle (ou série entière réelle) toute série
d'applications de IR dans IR de terme général f n : X E IR t-+ an x n où an E R
Pour tout n E N, le réel an est appelé coefficient d'ordre n de la série entière.
Une série entière de la variable réelle étant définie d'une manière analogue à
une série entière de la variable complexe, on peut introduire un cadre d'étude
similaire. En particulier le rayon de convergence d'une série entière réelle est
défini de la même manière que celui d'une série entière complexe, voir la définition 5.3. D'un point de vue pratique, le rayon de convergence d'une série
entière réelle peut lui aussi être calculé en ayant recours aux règles de Cauchy
ou de D'Alembert, voir les propositions 5.4 et 5.5. Par ailleurs, le rayon de
convergence d'une série entière réelle L n anx n est le même que celui de la série
entière complexe L n an z n à coefficients an réels.
Les différentes propriétés de convergence d'une série entière réelle de rayon de
convergence R non nul sont les suivantes :
- la série entière converge simplement et absolument sur ] - R, R[ ;
- la série entière diverge grossièrement sur J - oo, -R[ et sur ]R, +oo[;
- en R et en -R, la série entière peut selon les cas converger ou diverger ; une
étude spécifique est requise ;
- quel que soit le réel r avec 0 < r < R, la série entière converge normalement
et uniformément sur l'intervalle [-r, rj.