Séries entières
259
2. Pour obtenir le développement en série entière dans un voisinage de l'origine
de la fonction rationnelle F : z r-+ ;:�� ,on part de la décomposition en éléments
simples de la fraction rationnelle qui est donnée par < 2 4> :
x 2 +i .!. (1 +i) - l (1 +i) _ .!. (1 +i) .!. (1 +i)
--- = 4 + 4 + 4 + 4 .
X4 - 1 X - 1
X - i
X + 1
X + i
Pour tout z E D(O, 1), on a
1
+oo
1
+oo
z-1
- l: z n
et
1 + iz
- 2: ( -it +l Z n
z - 1
n=O
n=O
1
+oo
1
+oo
= L (-l) n z n et
- -- - Li n + l Z n .
z+l
z +i
1 - iz
n=O
n=O
On en déduit que la fonction rationnelle F admet pour développement en série
entière dans un voisinage de l'origine I:�:O a n z n où pour tout n EN on a
si n est impair
si n= 4k, k EN
si n = 4k + 2, k E N
On en conclut que pour tout z E D(O, 1) on a F(z) = - I:t,:O a. k z 2 k avec
O'. k = i si k est impair et D'. k = 1 si k est pair.
On peut obtenir sur cet exemple l'expression du développement en série entière
plus rapidement en remarquant que
z 2 + i
2 1
. 1
-- =-z
-- - 1-et
z4 - 1
1 - z4 1 - z4
1
+oo
___
"" z 4 k
1 - z4 - L.., , ·
k=O
3. Déterminons le développement en série entière dans un voisinage de l'origine
de la fonction rationnelle F : z r-+ z2 + 1z +l . En notant j = e; 2 3', la décomposition
en éléments simples de la fraction rationnelle F est
1
i
1
i
1
X2 + X + 1
= - J3 X - j + J3 X - f
On en déduit que pour tout z E D(O, 1), on a
1
z 2 + z + 1
1
1
J · fri 3 - l x--:r;:; 3 - l X
v0 -T J v0 -j
' +oo 1
' +oo 1
' +oo ( 1 1 )
= J
' 1 '3 L J · n Z n - J
-; 1 '3 L J
-;n Z n = � L J
· n +l
- -;n +l
V .:> n=O
V ù n=O
V ù n=O
J
En remarquant que d'une part j n + i t + i
= (j J) n +l = lj l 2 ( n + i ) = 1 et que d'autre
part r
+l - j n +l = e-+n-( n +l) - e+r( n + l ) = -2i sin(�7r(n + 1)), on obtient
=
2 +oo ( 2 )
J3 �sin '3 7r(n + 1) z n .
1
z 2 +z+1