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Fo nctions définies par une série entière
Désignons par a1 , ... , aq les racines distinctes de Q, supposées non nulles, et
par ry1 , ... , 'T/ q leur multiplicité respective. La fraction rationnelle F admet une
décomposition en éléments simples dans q 'li (3· .
F(z) = E(z) + L L (z _ '3 -) i ,
i =l i =l
a,
où E désigne la partie entière <24> de F et les f3ij désignent des complexes. La
fonction polynomiale E constitue son propre développement en série entière
dans un voisinage de l'origine. Pour déterminer le développement en série entière dans un voisinage de l'origine de la fonction rationnelle F, il suffit de
savoir calculer le développement en série entière dans un voisinage de l'origine
des fonctions de la forme : z � (z - a) -P où a désigne un complexe non nul
et p un entier naturel non nul.
Il a été établi p. 253 que pour tout z E D(O, 1) on a
+oo
1
- "'""" "' C P n - p
(1 - z)P +l - � n z .
On en déduit que pour tout z E D(O, lai),
1
(- l ) P +l
1
(- l ) P +l
(z - a)P +1
aP +l (1 - �)P +l
aP +l
+oo
= (- l ) P +l L:: c p 1 n - p
n a n+l z ·
n=p
+oo
(� r
- p
L:: c�
n=p
On en conclut que toute fonction rationnelle qui n'admet pas 0 pour pôle est
développable en série entière dans un voisinage de l'origine et que le rayon de
convergence R de la série entière est égal au minimum des distances entre 0 et
les pôles de F, i.e. R = min1,,;i,,;q lail·
On obtient l'expression du développement en série entière dans un voisinage de
l'origine d'une fonction rationnelle en considérant successivement les différents
termes de la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle.
Exemples
1. Le développement en série entière dans un voisinage de l'origine de la fonction
rationnelle z � 1 ! z 2 s'obtient de la manière suivante. Pour tout z E D(O, 1)
on a
1
.!.
.!.
1 +oo
1 +oo
+oo
__
= _2 _ + _2 _ = _ "'""" "' Z n + _ '""°' (- lt z n = "'""" "' z 2 n .
1 - z 2 1 - z 1 + z 2 �
2 �
�
n=O
n=O
n=O
<2 3> voir la section 7.2.3 p. 279 du Cours de première année.
<24> Voir te Cours de première an née p. 27 4.