Séries entières
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Le théorème 5.5 indique que toute fonction complexe développable en série
entière dans un voisinage de l'origine est indéfiniment C-dérivable sur un voisinage de l'origine ; elle est donc en particulier holomorphe dans ce voisinage. Ce
résultat admet une réciproque : toute fonction holomorphe dans un voisinage
de l'origine est développable en série entière dans un voisinage de l'origine. Plus
, . , t
1 é 1 t .
d t
<22'
prec1semen , on a e r su ta su i vant que nous a met rons .
THÉORÈME 5.6 Soit f une fo nction holomorphe dans un disque ouvert D(O, r
(où r E JR.+J. Il existe une série entière L n an z n de rayon de convergence R
avec R � r telle que :
+oo
'r:/ z E D(O,r) f(z) = 2::: an Z n .
n=O
Remarques
1. Les théorèmes 5.4, 5.5 et 5.6 nous indiquent qu'il y a coïncidence entre
l'ensemble des fonctions holomorphes sur un ouvert U de C et l'ensemble des
fonctions analytiques sur U (i.e. développables en séries entières au voisinage
de zo pour tout zo E U).
2. Il résulte du théorème 5.6 que si une fonction f est holomorphe dans le disque
ouvert D(O, r) alors elle est indéfiniment C-dérivable dans D(O, r) puisque la
somme d'une série entière est indéfiniment C-dérivable sur son disque de convergence, voir la proposition 5.7. En particulier, la dérivée d'une fonction holomorphe est elle-même une fonction holomorphe. Cette propriété est très forte
et est spécifique aux fonctions de la variable complexe ; elle n'est bien entendu
pas vraie dans le cas des fonctions réelles de la variable réelle.
o
Développement en série entière des fractions rationnelles
Rappelons qu'une fonction polynomiale p: z E C r-t L:� =O a k z k (d EN) définit
une série entière complexe dont les coefficients d'ordre supérieur à d sont nuls
et dont les coefficients d'ordre inférieur où égal à d sont égaux aux coefficients
de même ordre du polynôme.
Considérons deux polynômes P et Q de C[X] premiers entre eux (i.e. sans
racine commune) et intéressons-nous au développement en série entière de la
fonction rationnelle F: z r-t P(z)/Q(z) dans un voisinage de l'origine. On peut
déjà remarquer que si 0 est un pôle de F (i.e. si 0 est une racine de Q) alors F
ne peut avoir de développement en série entière dans un voisinage de l'origine
en vertu du théorème 5.5.
(22) La démonstration de ce résultat dépasse le cadre de ce cours. On pourra consulter le
chap. 2 de : H. Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques, Hermann, 1961.
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Le théorème 5.5 indique que toute fonction complexe développable en série
entière dans un voisinage de l'origine est indéfiniment C-dérivable sur un voisinage de l'origine ; elle est donc en particulier holomorphe dans ce voisinage. Ce
résultat admet une réciproque : toute fonction holomorphe dans un voisinage
de l'origine est développable en série entière dans un voisinage de l'origine. Plus
, . , t
1 é 1 t .
d t
<22'
prec1semen , on a e r su ta su i vant que nous a met rons .
THÉORÈME 5.6 Soit f une fo nction holomorphe dans un disque ouvert D(O, r
(où r E JR.+J. Il existe une série entière L n an z n de rayon de convergence R
avec R � r telle que :
+oo
'r:/ z E D(O,r) f(z) = 2::: an Z n .
n=O
Remarques
1. Les théorèmes 5.4, 5.5 et 5.6 nous indiquent qu'il y a coïncidence entre
l'ensemble des fonctions holomorphes sur un ouvert U de C et l'ensemble des
fonctions analytiques sur U (i.e. développables en séries entières au voisinage
de zo pour tout zo E U).
2. Il résulte du théorème 5.6 que si une fonction f est holomorphe dans le disque
ouvert D(O, r) alors elle est indéfiniment C-dérivable dans D(O, r) puisque la
somme d'une série entière est indéfiniment C-dérivable sur son disque de convergence, voir la proposition 5.7. En particulier, la dérivée d'une fonction holomorphe est elle-même une fonction holomorphe. Cette propriété est très forte
et est spécifique aux fonctions de la variable complexe ; elle n'est bien entendu
pas vraie dans le cas des fonctions réelles de la variable réelle.
o
Développement en série entière des fractions rationnelles
Rappelons qu'une fonction polynomiale p: z E C r-t L:� =O a k z k (d EN) définit
une série entière complexe dont les coefficients d'ordre supérieur à d sont nuls
et dont les coefficients d'ordre inférieur où égal à d sont égaux aux coefficients
de même ordre du polynôme.
Considérons deux polynômes P et Q de C[X] premiers entre eux (i.e. sans
racine commune) et intéressons-nous au développement en série entière de la
fonction rationnelle F: z r-t P(z)/Q(z) dans un voisinage de l'origine. On peut
déjà remarquer que si 0 est un pôle de F (i.e. si 0 est une racine de Q) alors F
ne peut avoir de développement en série entière dans un voisinage de l'origine
en vertu du théorème 5.5.
(22) La démonstration de ce résultat dépasse le cadre de ce cours. On pourra consulter le
chap. 2 de : H. Cartan, Théorie élémentaire des fonctions analytiques, Hermann, 1961.